2.2. Свободное движение частицы в ограниченном объеме
Рассмотрим свободное движение частицы в ограниченном объеме. Такое движение можно назвать свободным лишь условно (всякие ограничения – это уже не свобода). И поэтому задача носит условный, модельный характер. Будем считать, что объем, в котором находится частица, хотя и ограничен, но достаточно велик. Тогда влияние границ на характеристики движения будет слабым.
Свободное движение описывается волной де Бройля, которая в трехмерном случае имеет вид
(2.2.1)
Рассмотрим (2.2.1) для данного момента времени, который, не ограничивая общности, можно назвать нулем. Тогда
(2.2.2)
В
Рис. 2.1
(2.2.3)
Так как в волновой функции (2.2.2) переменные разделились и направления , , , в силу изотропности пространства, эквивалентны, граничное условие по каждому из направлений может быть использовано по отношению к соответствующему множителю в (2.2.2) отдельно. Для оси имеем, в частности,
(2.2.4)
Ввиду
того, что период функции (2.2.4) равен
,
необходимо потребовать
или
(2.2.5)
где
.
Аналогично для других направлений. В совокупности имеем следующие условия квантования волнового вектора:
(2.2.6)
где
- целые положительные и отрицательные
числа.
Заметим, что хотя на этот счет не существует специальных доказательств, ограничение в конфигурационном пространстве (финитность движения) обязательно приводят к ограничению (квантованию) в выборе дозволенных значений физических величин. Здесь финитность движения привела к квантованию волнового вектора, а вместе с тем к квантованию импульса и энергии.
В связи
с финитностью движения считаем, что
функция
нормирована на единицу. Далее, индексом
отмечаем, что мы уже работаем с волновыми
функциями состояний, дозволенных
условием (2.2.6), т.е.
(2.2.7)
Явный
вид функций
подтверждает наше предположение о
полноте набора волновых функций в духе
базиса ряда Фурье, так как для функций
вида
хорошо известно, что при разных
показателях они ортогональны и по ним
можно разложить любую функцию (в данном
случае, удовлетворяющую граничным
условиям (2.2.3)). В силу принципа суперпозиции
возможны состояния вида
(2.2.8)
Условие ортогональности различных функций в предположении нормировки на единицу можно записать следующим образом:
(2.2.9)
Домножим
(2.2.8) на произвольную функцию
и проинтегрируем по всему конфигурационному
пространству
(2.2.10)
откуда, в силу соотношения ортогональности (2.2.9), опуская штрих, приходим к определению коэффициента Фурье
(2.2.11)
В
качестве дополнительного материала
для дальнейшего вспомним определение
- функции Дирака и дадим ее Фурье-разложение
по функциям (2.2.7).
В определение - функции включаются следующие положения.
1.
– это функция разностного аргумента,
такая, что она равна нулю везде, кроме
нуля своего аргумента, где она обращается
в бесконечность
(2.2.12)
2.
(2.2.13)
если объем интегрирования включает нуль аргумента.
3.
(2.2.14)
если объем интегрирования включает нуль аргумента.
Такое определение предполагает действительность -функции и ее симметричность относительно нуля аргумента
.
(2.2.15)
Разложим -функцию в ряд Фурье по функциям (2.2.7)
(2.2.16)
В соответствии с соотношениями (2.2.11) и (2.2.14)
(2.2.17)
и, возвращаясь к (2.2.16), получаем Фурье-представление -функции
(2.2.18)
Наконец, получим еще одну вспомогательную формулу
(2.2.19)
В заключение укажем, что теперь есть возможность более строго убедиться в справедливости утверждения (2.1.21). В самом деле, исходя из (2.2.7), имеем
(2.2.20)
В рамки заключены интегральные формулировки постулата о статистическом смысле волновой функции и принципа суперпозиции. Мы видим, что одно без другого не бывает. Если система существует, она где-то находится и в каком-то состоянии находится.