2.7. Свойства собственных функций операторов, имеющих сплошной спектр собственных значений (инфинитное движение)
Тот факт, что некоторая физическая величина прибегает непрерывный (сплошной) спектр собственных значений, указывает, что нет каких-либо ограничений, способных вызвать квантование этой величины, т.е. в этом случае мы имеем дело с инфинитным движением. В случае инфинитного движения интеграл от квадрата модуля волновой функции расходится, и нет возможности нормировать его на единицу, т.е. на вероятность достоверного события на общепринятом языке теории вероятностей. Нет также возможности занумеровать дозволенные значения в качестве индекса. Волновая функция кроме зевисимости от координат конфигурационного пространства как бы получает еще одну зависимость от переменой :
(2.7.1)
В
отличие от предыдущего раздела, при
рассмотрении свойств функции
удобнее начать с полноты, т.е. с
утверждения, что любая функция
может быть разложена по
.
Полноту набора
,
как и выше, принимаем без доказательств.
В отличие от случая дискретного спектра,
вместо ряда Фурье будем иметь его
обобщение – интеграл Фурье.
1. Полнота системы функций .
(2.7.2)
(2.7.3)
– здесь
Фурье-образ функции
,
обобщающий понятие Фурье-коэффициента
на случай непрерывного изменения
.
2. Ортогональность получаем подстановкой (2.7.2) в (2.7.3):
(2.7.4)
Сравнивая соотношение (2.7.4) с известным свойством -функции
(2.7.5)
приходим к соотношению
(2.7.6)
которое
выражает ортогональность волновых
функций разных состояний, отличающихся
значением физической величины
.
Это же соотношение нормирует расходящийся
интеграл от
по всему конфигурационному пространству
на
-функцию.
Проводя
аналогию между финитным и инфинитным
движением, можно заметить, что при
финитном движении величина
нормируется на специальный вид конечной
величины (единицу), а при инфинитном
движении бесконечная величина
нормируется на специальный вид
бесконечности (
-функцию).
В том и другом случае
представляет собой вероятность
достоверного события (если система
существует, то она где-нибудь находится),
но при инфинитном движении нельзя
использовать стандартный язык теории
вероятностей, так как приходится
оперировать лишь относительной
вероятностью.
Ортогональность функций, определенных в разных точках конфигурационного пространства, получаем подстановкой (2.7.3) в (2.7.2)
(2.7.7)
Учитывая, что
(2.7.8)
приходим к соотношению
(2.7.9)
После записи как дополнительной переменной функции , соотношения (2.7.1) и (2.7.4), принимают следующую «симметричную» по и форму:
(2.7.10)
Укажем также на следующую связь
(2.7.11)
повторяющую соотношения (2.6.10) и (2.6.11) на случай инфинитного движения. Постулат о статистическом смысле волновой функции (левая часть (2.7.10)) и принцип суперпозиции (правая часть) также отражают своеобразную «симметрию» по и . Суть этой «симметрии» станет ясна впоследствии при изучении теории представлений.