2.3. Вычисление средних значений координаты и импульса.

Из предыдущего рассмотрения следует, что в общем случае в квантовой механике физические величины описываются статистически. Экспериментатор, измеряя ту или иную физическую величину, в соответствии с принципом суперпозиции, будет получать различные значения измеряемой физической величины с вероятностью присутствия в суперпозиции конкретного состояния (допускаем идеализированно, что измерения не меняют состояния микросистемы, что, вообще говоря, неверно). Затем, усредняя по экспериментальным данным, вычисляется среднее значение измеряемой физической величины.

Естественно поэтому развить аппарат вычисления средних значений физических величин в квантовой механике. Что касается величин, зависящих от координат, то здесь это сделать просто, так как в нашем распоряжении имеется функция распределения по координатам .

Итак, для среднего значения координаты имеем

(2.3.1)

Интегрирование ведется по всему конфигурационному пространству, и в случае финитного движения интеграл в знаменателе равен единице, поэтому

(2.3.2)

Аналогично для физической величины, зависящей только от координат

(2.3.3)

Однако физическое многообразие величин не исчерпывается величинами, зависящими только от координат. Есть еще импульс и величины, зависящие от импульса, например, кинетическая энергия. Есть величины, зависящие и от координат, и от импульса, например, момент импульса и полная энергия. В случае импульса вычисление среднего значения несколько сложнее, так как в нашем распоряжении нет функции распределения по импульсу.

Рассмотрим некоторое суперпозиционное состояние для свободного движения частицы в ограниченном объеме (модельная задача предыдущего параграфа)

(2.3.4)

Здесь – статистический вес, вероятность присутствия в волновой функции конкретного состояния , или, что то же самое, вероятность реализации -значения волнового вектора или -значения импульса. В соответствии с теорией о математическом ожидании среднего, для среднего значения импульса в состоянии (2.3.4) можно записать

(2.3.5)

Проведем некоторые тождественные преобразования этого выражения, используя выражения (2.2.11) и (2.2.20)

(2.3.6)

Точка во втором интеграле отмечает конец сферы влияния оператора . Беря этот интеграл по частям, имеем:

. (2.3.7)

В соответствии с граничными условиями, принятыми в предыдущем разделе, первое слагаемое в фигурной скобке (2.3.7) равно нулю. Тогда получаем

(2.3.8)

Сумма в круглой скобке задает здесь -функцию (см. (2.2.18)), что позволяет выполнить одно интегрирование

(2.3.9)

Окончательно запишем этот результат в форме, аналогичной выражениям (2.3.2) и (2.3.3),

(2.3.10)

Также и для любой физической величины, зависящей от импульса, как нетрудно показать, имеет место формула

(2.3.11)

Анализируя определение средних значений различных величин, можно заметить, что все они (см. (2.3.3), (2.3.4), (2.3.10) и (2.3.11)) имеют общую структуру. А именно, среднее значение соответствующей физической величины вычисляется как интеграл по всему конфигурационному пространству от произведения двух множителей – и множителя, получаемого из посредством некоторой операции, в частности, появления множителя в (2.3.3), умножения на в (2.3.4), взятие производной (градиента) в (2.3.10), выполнение более сложной операции в (2.3.11). Таким образом, в квантовой механике каждой физической величине сопоставляется некоторый оператор (который мы отмечаем шляпкой). Явный вид простейших операторов очевиден из проведенного рассмотрения, результаты которого удобно собрать в следующую таблицу

Среднее значение Формула вычисления Оператор