2.15 Теорема Эренфеста
Изучая изменение средних значений физических величин или соответствующих им операторов во времени, можно установить важную связь классических уравнений движения в гамильтоновом формализме с соответствующими квантовыми соотношениями.
Классическая
механика следующим образом задает
канонические уравнения движения, если
известна функция Гамильтона
механической системы
, (2.15.1)
где
и
- обобщенные координаты и обобщенные
импульсы.
В случае одномерной задачи соответственно имеем
, (2.15.2)
, (2.15.3)
или
, (2.15.4)
где
- сила, действующая на материальную
точку.
Дифференцируя первое уравнение (2.15.3) по времени и учитывая второе уравнение (2.15.3), приходим к известному уравнению Ньютона:
(2.15.5)
Принимая во внимание общее соотношение (2.12.7), проследим за изменением во времени соответствующих квантовых операторов. Для гамильтонаина с одной степенью свободы имеем
. (2.15.6)
В соответствии с (2.12.7) получаем
(2.15.7)
т.е.
(2.15.8)
Аналогично
(2.15.9)
или
. (2.15.10)
Дифференцируя (2.15.8) по времени, с учетом (2.15.10) имеем
. (2.15.11)
Очевидна аналогия между уравнениями (2.15.8), (2.15.10) и (2.15.11) квантовой механики и уравнениями (2.15.3) и (2.15.4) классической механики.
Переходя в (2.15.8), (2.15.10) и (2.15.11) к средним значениям соответствующих физических величин
, (2.15.12)
можно сформулировать теорему Эренфеста: для обобщения уравнений механики на квантовый случай необходимо входящие в классические уравнения динамические величины заменить на средние значения соответствующих операторов.