Интегралы движения
Уже в рамках классической теоретической физики стало ясным, что между законами сохранения и симметрийными свойствами пространства и времени имеется глубокая связь. Эта связь проявляет себя и на квантовомеханическом уровне, и также во всей квантовой теории. В наиболее строгом виде эта связь зафиксирована в известной теореме Нетер. Здесь, однако, мы ограничимся наиболее важными интегралами движения, связанными с вполне очевидными симметрийными свойствами пространства и времени.
1. Однородность времени (эквивалентность всех моментов времени для замкнутой системы или в случае постоянных во времени внешних полей). Поскольку вся физика квантовомеханической системы определяется оператором Гамильтона, это означает, что гамильтониан системы явно не зависит от времени:
. (2.13.1)
С другой стороны очевидно, что
(2.13.2)
т.е. мы имеем два необходимых и достаточных условия, согласно которым, физическая величина, соответствующая оператору Гамильтона – энергия – является интегралом движения
. (2.13.3)
2. Однородность пространства (эквавалентность всех точек пространства). Это означает, что замкнутая система при параллельном переносе (как целое) не замечает такого переноса, т.е. физически в такой системе ничего не изменится, или, что то же самое, гамильтониан системы ни коим образом не реагирует на такой перенос.
Пусть
квантовомеханическая система описывается
волновой функцией
.
Перенесём систему на некоторый конечный
достаточно малый вектор
,
т.е.
. (2.13.4)
В этой
точке мы уже имеем для описания
квантовомеханической системы волновую
функцию
.
Разложим
в ряд Тэйлора в точке
(2.13.5)
В силу
малости вектора
последующие члены ряда не учитываем.
Таким образом, (2.13.5) позволяет выразить
с помощью некоторого оператора, который
мы назовем оператором переноса
,
через
:
, (2.13.6)
. (2.13.7)
Тот
факт, что гамильтониан системы не
меняется при рассмотренном параллельном
переносе, означает, что оператор
не действует на
,
или, что то же самое, безразлично, имеет
ли дело оператор
с функцией
или с функцией
с последующим действием оператора
.
Этот факт, отражающий однородность
пространства, на операторном языке
означает коммутирование соответствующих
операторов:
. (2.13.8)
Кроме того, из явного вида оператора переноса (см. (2.13.7)) следует
, (2.13.9)
т.е. оператору переноса соответствует некоторый интеграл движения. Учитывая, что единица и постоянны, а домножение на любой постоянный множитель не меняет содержания теории, видим, что однородности пространства соответствует интеграл движения известный как импульс:
. (2.13.10)
3.
Изотропность
пространства
проявляет себя в том, что замкнутая
система не замечает произвольных
поворотов как целое, т.е. если ее повернуть
на некоторый угол
вокруг заданной оси, ее физические
свойства останутся неизменными, или,
что то же самое, гамильтониан системы
не реагирует на такой поворот.
При достаточно малом повороте , когда
, (2.13.11)
как и выше, ограничиваясь первыми членами ряда Тейлора, имеем
(2.13.12)
где введен оператор поворота
. (2.13.13)
Вектор поворота направлен вдоль оси поворота таким образом, что со стороны конца вектора поворот представляется производимым против часовой стрелки, а абсолютное значение равно углу поворота.
В силу изотропии пространства
. (2.13.14)
Из
явного вида оператора
согласно (2.13.3)
. (2.13.15)
Вспоминая классическое определение момента импульса и сопоставления ему соответствующий оператор, имеем
. (2.13.16)
Сравнивая выражения (2.13.16) и (2.13.13), видим что с изотропией пространства связан интеграл движения, известный как момент импульса.
Рассмотренные здесь преобразования переноса или поворота относятся к так называемым непрерывным преобразованиям, так как подобные преобразования, если даже они конечны, могут быть получены последовательностью соответствующих бесконечно малых преобразований (сдвигов или поворотов), в смысле выполнения достаточно быстрой сходимости рядов (2.13.6) и (2.13.2).
Однако в квантовой физике имеют место и свои специфические интегралы движения, которые в классической физике не рассматриваются. Это интегралы движения, связанные с так называемыми дискретными преобразованиями. Например, отражение в зеркале – это преобразование, которое нельзя осуществить рядом последовательных достаточно малых преобразований. Отсюда название – дискретное преобразование. Зеркальное отражение называют преобразованием пространственной инверсии. Природе безразлично, будете ли вы наблюдать за квантовомеханической системой непосредственно или через зеркало. Законы природы от этого не меняются, т.е. имеет место зеркальная симметрия.
Итак, произведем зеркальное отражение координат:
. (2.13.17)
Введем оператор зеркального отражения или оператор пространственной инверсии, в соответствии с соотношением
. (2.13.18)
Очевидно двойное отражение ничего не изменяет и поэтому
. (2.13.19)
Последнее уравнение можно переписать в виде задачи на собственные функции и собственные значения:
, (2.13.20)
т.е.
единственным возможным собственным
значением оператора
является единица:
. (2.13.21)
Отсюда
для собственных значений оператора
имеем только две возможности
, (2.13.22)
т.е. при решении задачи на собственные функции и собственные значения для оператора имеем либо
, (2.13.23)
либо
. (2.13.24)
Это
новое свойство квантовомеханической
системы принадлежать тому или иному
собственному значению оператора
называется пространственной четностью.
В случае выполнения (2.13.23) состояния,
описываемые
,
называются положительно четными или
просто четными. Случаю (2.13.24) соответствует
отрицательно четные или нечетные
состояния.
Наряду с энергией, импульсом, моментом в качестве новой характеристики состояний квантовомеханических систем выступает пространственная четность. Эта характеристика является устойчивой. В самом деле, по сути определения оператора , имеем
, (2.13.25)
что означает сохранение соответствующей величины – четности.
Итак, с зеркальной симметрией связан закон сохранения пространственной четности. Это типичный интеграл движения, соответствующий симметрии дискретного типа.
Заметим,
что по четности имеет место вырождение.
Действительно, вся совокупность
состояний квантовомеханической системы
делится на две группы по принадлежности
тому или другому собственному значению
оператора
,
т.е. одному и тому же собственному
значению
соответствует ряд собственных функций.
Отметим
в заключение, что возможны также
состояния с неопределенной четностью.
Это, например, суперпозиционные
состояния, содержащие как
,
так и
.