Глава 2. Основные положения квантовой механики

2.1. Постулат о статистическом смысле волновой функции. Принцип суперпозиции

В зависимости от того, какой из основных принципов – квантование физических величин или корпускулярно-волновой дуализм принят за исходный, можно по-разному строить теорию микромира. Исторически так и было. Предпочтение квантованию физических величин привело к созданию так называемой матричной механики. Предпочтение корпускулярно-волновому дуализму вылилось в создание волновой механики. Лишь позднее стало ясно, что это две физически эквивалентные формулировки теории, отражающие одно и то же содержание. В настоящее время принято единое название – квантовая механика.

В соответствии с обоснованием, приведенном в первой главе, начнем с того, что введем в теорию аксиоматически принцип корпускулярно-волнового дуализма и его понимание. Для этого прежде всего необходимо произвести обобщение волн де Бройля, ибо последние были введены лишь для описания свободного движения частицы. В общем же случае движение может быть не свободным.

Итак, пусть имеется одна частица, движущаяся в общем случае не свободно в трехмерном пространстве , , . Этой частице будем сопоставлять некоторую функцию, по аналогии с волной де Бройля, называемую волновой функцией. В простейшем случае свободной частицы в качестве волновой функции выступает плоская волна де Бройля. Для того чтобы волновая функция могла отобразить все физическое многообразие ее движения, она, как минимум, должна зависеть от координат, которые описывали бы движение частицы, если бы это было возможно, на классическом уровне. Итак, в случае одной частицы для волновой функции имеем . Заметим, что проведенные рассуждения не исключают возможности каких-либо других зависимостей волновой функции, например, от времени, параметров внешних полей и т.д. Элемент объема назовем элементом конфигурационного пространства.

Аналогично, если рассматривать движение системы из двух частиц, которые классически описывались бы координатами и , волновая функция должна, как минимум, зависеть от тех же координат, т.е. В этом случае под элементом конфигурационного пространства понимаем элемент

Обобщение на более сложные системы очевидно. В общем случае, следовательно, под конфигурационным пространством квантовомеханической системы (микросистемы) понимается пространство всех степеней свободы, а волновая функция при этом, как минимум, зависит от всех конфигурационных переменных.

Теперь можно сформулировать 1-ю аксиому квантовой механики – постулат о статистическом смысле волновой функции.

Каждой квантовомеханической системе сопоставляется некоторая волновая функция (функция состояния) переменных конфигурационного пространства такая, что квадрат модуля ее пропорционален вероятности нахождения системы в единичном объеме в окрестности данной точки конфигурационного пространства.

Этот постулат, предложенный Максом Борном, вводит в квантовую механику корпускулярно-волновой дуализм. Частице или микросистеме сопоставляется волна, волновая функция.

Принимая этот постулат, мы вступаем на путь вероятностного описания движения, где нет места классическим траекториям. Мы не знаем траекторий, мы лишь статистически, вероятностно знаем, где находится система.

Итак, в соответствии с постулатом, для вероятного описания квантовомеханической системы в единичном объеме в окрестности точки имеем

. (2.1.1)

Поскольку речь идет о вероятности в единичном объеме, эту же величину принято также называть плотностью вероятности.

Как только мы приняли постулат о статистическом смысле волновой функции, т.е. вероятностную ее трактовку, на волновую функцию необходимо наложить ряд требований.

1. Волновая функция всюду конечна

. (2.1.2)

Если допустить обратное, то в некоторой точке конфигурационного пространства вероятность нахождения частицы (системы) обращается в бесконечность, и попав однажды в эту точку, система никогда из нее не выйдет.

2. Волновая функция не равна тождественно нулю во всем конфигурационном объеме

(2.1.3)

Если допустить обратное, то вероятность нахождения квантово-механической системы в любой точке пространства равна нулю, и мы приходим к абсурду – система существует, но нигде не находится.

3. Наконец, волновая функция непрерывна и однозначна. В противном случае станет невозможным даже статистическое описание движения микросистемы.

И для простоты в рамках нерелятивистской квантовой механики считаем волновую функцию скаляром, хотя, вообще говоря, достаточно потребовать скалярности плотности вероятности.

Заметим также, что поскольку статистический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля, она определена с точностью до фазового множителя, т.е. замена

(2.1.4)

не меняет плотности вероятности.

В формулировке постулата о статистическом смысле волновой функции имеется некоторая неопределенность, речь идет о знаке пропорциональности в (2.1.1). В связи с этим в понимании статистического смысла волновой функции можно отметить некоторые различия для случаев финитного и инфинитного движения, связанные с возможностью в случае финитного движения использования общепринятых категорий теории вероятностей.

В случае финитного движения для вероятности обнаружения квантовомеханической системы в объеме , в соответствии с соотношением (2.1.1), имеем

. (2.1.5)

Вероятность обнаружения системы во всем дозволенном для ее движения объеме есть

. (2.1.6)

Поскольку объем интегрирования конечен и подынтегральная функция конечна, интеграл в (2.1.6) имеет определенное значение

. (2.1.7)

Смысл этого интеграла – вероятность достоверного события: если система существует, она где-нибудь в объеме находится. В связи с конечностью (2.1.7) можно перейти к новой функции , с тем чтобы вероятность достоверного события была равна единице, как это принято в стандартной теории вероятностей. Итак, в случае финитного движения возможно

(2.1.8)

и знак пропорциональности в (2.1.1) теперь можно заменить на знак равенства:

. (2.1.9)

Таким образом, первый постулат в случае финитного движения можно понимать в абсолютном смысле, т.е. после нормировки на вероятность достоверного события (2.1.8) величина дает вероятность обнаружения квантовомеханической системы в единичном объеме в окрестности некоторой точки конфигурационного пространства.

Впредь, коль скоро речь зайдет о финитном движении, будем считать, что нормировка (2.1.8) уже выполнена.

В случае инфинитного движения

по-прежнему имеет смысл достоверного события – если система существует, она где-нибудь в объеме находится. Но если объем интегрирования бесконечен, то интеграл расходится

, (2.1.10)

т.е. нет возможности нормировать его на единицу. Отсюда нет возможности и вычислить вероятность обнаружения квантовомеханической системы в той или иной точке конфигурационного пространства (в единичном объеме), и нет возможности в (2.1.5) перейти к знаку равенства. Однако можно сравнить вероятность пребывания системы в разных точках пространства, т.е.

(2.1.11)

Отсюда относительность понимания количественной стороны 1-го постулата в случае инфинитного движения. Можно сравнить вероятности, не зная их абсолютного значения. Но в этом, вообще говоря, и нет надобности. В случае финитного движения можно было бы поступить также, что, правда, лишило бы нас возможности работать на общепринятом языке теории вероятностей.

В качестве иллюстрации вернемся к плоской волне де Бройля – волновой функции свободной частицы:

(2.1.12)

Результат вполне логичен – истинно свободная частица с одинаковой вероятностью побывает в каждой точке конфигурационного пространства (в данном случае одномерного).

Итак, мы видим, что как только корпукулярно-волновой дуализм понимается в духе постулата о статистическом смысле волновой функции, снимаются те трудности, о которых шла речь в конце первой главы. Статистическое, вероятностное (не классическое) описание движения просто не принимает классического вопроса о локализации частицы.

Отметим еще один аспект величины , а именно, ее возможно рассматривать как функцию распределения квантовомеханической системы по координатам конфигурационного пространства.

Статистическое, вероятностное описание распределения квантовомеханической системы по координатам вызывает законный вопрос – а не является ли статистический принцип единым принципом описания физических характеристик квантовомеханических систем? В самом деле, ведь координаты конфигурационного пространства ничем не выделены из совокупности других характеристик движения. В классической физике, например, в каноническом формализме теоретической механики координата полностью равноправны с импульсом. Имеются указания такого рода и в нашем случае – при рассмотрении волнового пакета координата и импульс равноправно входят в соотношение неопределенностей.

В связи с этим, в порядке расширения сферы влияния статистического, вероятностного толкования любых физических величин в квантовой механике, сформулируем очередную 2-ю аксиому квантовой механики – принцип суперпозиции.

Если квантовомеханическая система может находиться в состоянии, описываемом волновой функцией , и может находиться в состоянии, описываемым волновой функцией , то реализуется и такое состояние, волновая функция которого является линейной суперпозицией и , т.е.

, (2.1.13)

где – любые комплексные числа (в силу 1-й аксиомы не равные одновременно нулю).

В качестве иллюстрации рассмотрим волны де Бройля.

– описывает свободное движение с энергией и импульсом .

– описывает свободное движение с энергией и импульсом .

В силу только что принятого принципа суперпозиции возможно состояние свободного движение с волновой функцией вида

. (2.1.14)

Однако в этом состоянии ни энергия, ни импульс частицы не определены, но, как станет ясно ниже, возможно их статистическое описание.

Для уяснения содержания принципа суперпозиции применим его к финитному движению, при этом выполняется условие нормировки (2.1.8) для функций и . Поскольку и - любые комплексные числа, то в частном случае реализуется суперпозиция

. (2.1.15)

Чтобы не нарушать принятой нормировки, учитывая также отсутствие в этой суперпозиции второго состояния, можем утверждать

(2.1.16)

Аналогично, возможно состояние

, (2.1.17)

откуда

(2.1.18)

Итак, для двух крайних случаев суперпозиции мы установили возможные значения коэффициентов . Очевидно, учитывая все промежуточные возможности, когда , можно утверждать

(2.1.19)

Именно в таких приделах может изменяться значение вероятности в общепринятой номенклатуре теории вероятностей. 1 – вероятность достоверного события (только одно конкретное состояние присутствует в суперпозиции). 0 – вероятность невозможного события (конкретное состояние отсутствует в суперпозиции). Таким образом, имеет вероятностный смысл. Это вероятность или статистический вес присутствия конкретного состояния в суперпозиции.

Обращаясь к примеру (2.1.14) (инфинитное движение!), можно утверждать, что и дают вероятности реализации в данном состоянии соответствующих значений импульса и энергии. Иначе, экспериментатор, измеряющий физические величины в состоянии (2.1.14), с вероятностью будет получать значения импульса и энергии , и с вероятностью - , .

Если обратиться к волновому пакету, который представляет собой тоже суперпозицию, но с непрерывным изменением энергии и импульса, то статистическая трактовка импульса (энергии) оказывается полностью аналогичной статистической трактовке координат. Эта аналогия станет еще более очевидной впоследствии при изучении теории представлений.

Теперь сформулируем принцип суперпозиции в самом общем виде.

Если кватовомеханическая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями , то реализуются и такие состояния, волновые функции которых являются их линейными суперпозициями

(2.1.20)

причем – любые комплексные числа, не обращающиеся все одновременно в нуль.

– статистический вес, вероятность присутствия в суперпозиции конкретного состояния.

Не имея пока возможности привести конкретные вычисления, отметим, что, поскольку

представляет собой вероятность достоверного события – если система существует, она находится хотя бы в каком-нибудь состоянии – можно записать

(2.1.21)

Теперь укажем, пока чисто внешне, на одну аналогию.

Квантовая механика

Имеется волновая функция

Реализуются состояния

Вероятность достоверного события .

Математика – ряды Фурье

Имеются полные наборы ортогональных функций

Поэтому набору можно разложить любую функцию

Математическое условие полноты .

В связи с этим можно высказать предположение, что, по-видимому, некоторые наборы волновых функций представляют собой полные наборы ортогональных функций.