33. Дисперсионный анализ.
В дисперсионном анализе устанавливается факт зависимости или не зависимости исследуемой случайной величины от одного или нескольких факторов.
Анализ проводится по каждому фактору отдельно или по нескольким факторам одновременно, т.е. мы можем выделить:
-однофакторный
-двухфакторный
-трехфакторный
Однофакторный дисперсионный анализ.
Пусть
проверяется гипотеза
о том, что фактор А не влияет на случайную
величину Х, предполагаем, что А имеет
к-уровней. На каждом уровне проводим
n-измерений,
получаем совокупность измерений
i=1…k,
j=1…n.
Обозначим
-
мат. ожидание на i-ом
уровне фактора А. Общее мат. ожидание
на всех уровнях фактора А обозначим
через m.
На основе экспериментальных данных
требуется проверить гипотезу о равенствах
мат. ожиданиях
.
Для
проверки вычисляются оценки мат. ожиданий
на всех уровнях
и оценка общего мат. ожидания m:
.
Зависимость
исследуемой величины можно обнаружить
при сравнении оценок
с
,
но сравнение делается не напрямую, а с
помощью эмпирических дисперсий, поэтому
и называется дисперсионный анализ.
Опуская
коэффициент
,
рассмотрим сумму квадратов отклонений
измеряемой СВ от ее мат. ожидания.
kn
=kn*
=Q=
Идея дисперсионного анализа состоит в том, что эта сумма разбиваются на 2 компоненты, одна из них обусловлена фактором влияния А, а другая другими неучтенными факторами. Проведем это разбиение.
Q=
=
=
=
т.к.
не
зависимые измерения, то второе слагаемое
равно 0.
Обозначим
первое слaгаемое
, а второе
компонента
отклонение
значение Х от средних значений
,т.е.
она характеризует влияние фактора А на
величину Х, поэтому
.
указывает на отклонение случайной величины внутри уровней, т.е учитывает влияние других факторов, ее называют остаток рассеиня. Сравнивая и мы можем оценить степень влияния фактора А в сравнении с другими факторами.
Для
сравнения необходимо использовать
признаки (критерии). По условию величина
Х имеет нормальное распределение и
будет иметь распределение
с (nk-1)
степенью свободы, аналогично величина
распределена нормально с дисперсией
. Предположим, что гипотеза
верна, тогда величина
будет распределена по закону
с
(к-1) степенью свободы
т.к. Q= + , то по свойству распределений также распределена по закону с чслом степеней свободы.
k(n-1),
тогда по критерию Фишера
, где F-распределение Фишера со степенями свободы
=к-1
=к(n-1)
Затем для проверки задается уровень
значимости α или вероятность ошибки 1
рода и по таблице распределения Фишера
решается уравнение
Из
этого же уравнения находится критическое
значение
,
которое является нижней границей в
области F
, решение по гипотезе
принимают по следующему правилу: Если
F
вычисленное по формуле (1) >Fтабл.,
то гипотеза
отвергается. Если F
< Fтабл
,то гипотеза принимается, т.е. если фактор
А не оказывает существенного влияния
на х, т.е. гипотеза
истина, то величина
.
Если отношение F оказывается большим, то влияние фактора А следует признать существенным.
Замечание: для вычислений Q удобно пользоваться формулами:
