Гипергеометрическое распределение

Имеется N объектов. Из них n объектов обладают требуемым свойством. Из общего количества отбирается m объектов. Случайная величина X - число объектов из m отобранных, обладающих требуемым свойством. Для вычисления вероятностей используются биномиальные коэффициенты .Закон распределения имеет вид:

Гипергеометрическое: Говорят, что случайная величина   имеет гипергеометрическое распределение с параметрами  ,   и  , где  ,  , если случайная величина  принимает целые значения   такие, что  ,  , с вероятностями 

14.Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. F(x)=P(X<x).

Еще называют интегральной функцией распределения.

Свойства: 1)Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1].

0 F(x)≤1 2)Функция распределения есть неубывающая функция: F( , если 3)Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а,b), то F(x)=0 при х≤а; F(x)=1 при х b 4)Функция распределения непрерывна слева:

5)      6)  .

15.Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: f(x)=F’(x).(дифференциальная функция распределения)

Свойства:   1)  ;неотрицательна

     2)  ;

     3)  ;

     4)  .

16. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины  , возможные значения которой принадлежат отрезку  , называют определенный интеграл .

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные непрерывной случайной величины   принадлежат отрезку  , то . Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называют, как и для величины дискретной, квадратный корень из дисперсии: .

Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум. В частности, если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.

Медианой непрерывной случайной величины Х называют то ее возможное значение, которое определяется равенством P[X< P[X> .Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Начальным моментом порядка s называется математическое ожидание степени s СВ X:

Центральным моментом порядка s СВ X называется математиче­ское ожидание степени s, соответствующей центрированной СВ:

17. Равномерным называется такое распределение вероятностей  непрерывной  случайной величины Х, если на интервале (а, в), которому принадлежат все возможные значения Х, дифференциальная функция сохраняет постоянное значение, а именно  ; вне этого интервала 

Таким образом:      

М(х)=(a+b0/2 D(x)=(a-b)^2/12 Cреднее кв. откл.=(b-a)/2

Показательное (экспоненциальное распределение)

Показательным называют распределение непрерывной случайной величины Х которое описывается следующей дифференциальной функцией

Экспоненциальное распределение для непрерывных случайных величин является аналогом распределения Пуассона для дискретных случайных величин и имеет следующий вид.

вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α;β)

18. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины  , которое описывается плотностью  , где   - математическое ожидание;   - среднее квадратическое отклонение случайной величины  .

(распределение Гаусса) 

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и , т. е. случайной величины называется стандартным или нормированным.

Плотность стандартной случайной величины X имеет вид

и называется функцией Гаусса.

19.При моделировании случайных явлений используются не одна, а несколько случайных величин. Упорядоченный набор n случайных величин ,заданных на одном пространстве элементарных событий называется n-мерная случайная величина или системой из n случайных величин. являются компонентами этой системы. Их удобно рассматривать в пространстве n-ого измерения на многомерной случайной величине те же характеристики, что и одномерные. Рассмотрим систему из двух случайных величин X и Y. Двумерную случайную величину обозначают через (X, Y); каждая из величин X и Y называется компонентой (составляющей). Обе величины Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Законом распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют множество возможных пар чисел (xi, yj) и их вероятностей p(xi, yj). Двумерную случайную величину можно трактовать как случайную точку А(Х, Y) на координатной плоскости.

Закон распределения двумерной случайной величины обычно задается в виде таблицы, в строках которой указаны возможные значения xi случайной величины X, а в столбцах — возможные значения yj случайной величины Y, на пересечениях строк и столбцов указаны соответствующие вероятности pij. Пусть случайная величина Х может принимать п значений, а случайная величина Y - т значений. Тогда закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид

Двумерная случайная величина может быть дискретной, непрерывной или смешанной.

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y:

F( х, у ) = p ( X < x, Y < y )

Свойства функции распределения.

1)      0 ≤ F(x, y) ≤ 1 (так как F(x, y) является вероятностью).

2)      F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу:

F(x₂, y) ≥ F(x₁, y), если x₂ > x₁;

F(x, y₂) ≥ F(x, y₁), если y₂ > y₁.

3)      Имеют место предельные соотношения:

а) F(-∞, y) = 0; b) F(x, - ∞) = 0; c) F(- ∞, -∞) = 0; d) F( ∞, ∞) = 1.

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения