1.Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Опытом или испытанием или экспериментом называется выполнение определенного комплекса условий.

События делятся на достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате испытания(р=1). Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате испытания(р=0). Событие называется случайным, если оно в результата опыта может произойти, а может и не произойти.

Элементарным событием называют всякий исход опыта. Составное, если возможно несколько исходов. Элементарные события, входящие в состав составного события, называются благоприятствующими.

Два события называются совместными, если в результате испытания появление одного из них не исключает появление другого. Два события называются несовместными, если в результате испытания появление одного из них исключает появление другого.

2. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

Классическое определение вероятности: отношение числа благоприятствующих событий к общему числу элементарных исходов испытания. Р(А)=m/n. m-число благоприятствующих исходов, n-общее число исходов.

Геометрическое: вероятность случайного события А равна отношению меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области. Р(А)=ω(А)/Ω, ω(А)-пространство исходов благоприятствующих событий А, Ω-пространство всех элементарных исходов испытания.

Статистическое:  статистическая вероятность случайного события А равна относительной частоте появления этого события в ряде испытаний. ,m – число испытаний, в которых появилось событие А; n – общее число испытаний.

3.Для несовместных событий:

Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее из наступлений или А, или В.Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Для совместных событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

События называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на наступление другого.

Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее из наступлений и А, и В.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Зависимые:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)

4.Для расчета числа элементарных событий используют формулы комбинаторики:

Без повторений: C повторениями:

Сочетание---

Размещение--- (важен порядок)

Перестановка---

5. Условная вероятность — это вероятность некоторого события A, при условии наступления некоторого другого события B. Р(А/В)

Формула полной вероятности:

Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда вероятность события A определяется как сумма произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A:

Р(А)=

6. Условная вероятность — это вероятность некоторого события A, при условии наступления некоторого другого события B. Р(А/В)

Формула Байеса:

Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вычислить условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло).

7.Пусть некоторое испытание повторяется n раз. В результате испытания событие А может произойти с вероятностью Р или не произойти с вероятностью q=1-p.

Задачу расчета вероятностей числа наступления события А называют схемой Бернулли: где k-кол-во наступлений события А

8. Если при наличии схемы Бернулли число испытаний n велико, а вероятность наступления события p мала, то вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона:

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число n велико,а число p отлично от 0 и 1, тогда:

Функция φ(x) называется функцией Гаусса(четная).

Интегральная теорема Лапласа: Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

9.Величина, принимающая свои значения с некоторой вероятностью называется случайной.

Если значения случайной величины образуют конечное или счетное множество, то ее называют дискретной.

Если значения образуют несчетное множество, то случайную величину называют непрерывной.

Случайную величину Х можно определить как некоторую функцию, заданную на пространстве элементарных событий Ω.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Рядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х₁, х₂, ..., х_n с соответствующими им вероятностями р₁, р₂, ..., р_n:

хi	x1	x2	...	xn
pi	p1	p2		pn

10. Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называется математическим ожиданием случайной величины и обозначается М(X). 

М(Х)=

Свойства математического ожидания случайной величины:

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М[C]=C.

2)Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М[C×Х]=C×M[X].

3)Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: М[Х+Y]=M[X]+M[Y].

4)Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: М[Х×Y]=M[X]×M[Y].

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Свойства дисперсии случайной величины:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D[C]=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D[C×Х]=C2×M[X].

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D[Х+Y]=D[X]+D[Y].

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D[Х–Y]=D[X]+D[Y].

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется квадратный корень из дисперсии:

.

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е. Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)(не вычисляется для дискретных величин).

Начальным моментом k-го порядка  случайной величины Х называется математическое ожидание величины  , т.е.V(x) = М( ). Начальный момент первого порядка – это математическое ожидание случайной величины.

Центральным моментом k-го порядка μ_k случайной величины Х называется математическое ожидание величины (Х–М(Х))^k, т.е. μ_k = М(Х–М(Х))^k. Центральный момент второго порядка – это дисперсия случайной величины.

Величина As = μ₃ / σ³ называется коэффициентом асимметрии.

Эксцессом Еk называется величина Еk = μ₄ / σ⁴ – 3.

Квантилью xp случайной величины , имеющей функцию распределения F (x), называют решение x_p уравнения F (x) = p. медиана - квантиль уровня 0.5; нижняя квартиль - квантиль уровня 0.25; верхняя квартиль - квантиль уровня 0.75.

11.Пусть производится n независимых испытаний, в которых событие А может происходить с разными вероятностями: … Тогда - вероятности невыполнения события А. Обозначим -вероятность того, что событие А в n испытаниях выполняется k раз. Тогда функция

называется производящей. Тогда вероятность равна коэффициенту производящей функции.

Пусть n=2, тогда

то есть для 2 испытаний получаем: коэффициент при равен вероятности ; коэффициент при равен вероятности , равен .

12. Биномиальный закон распределения: биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p; вероятность возможного значения X=k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: математическое ожидание M(X) = np, дисперсия D(X) = npq.

Закон распределения Пуассона: Это распределение представляет собой предельный случай биномиального, когда вероятность р очень мала, а число испытаний n велико.  Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностями    где k – число появления событий в n независимых испытаниях,

λ = n· p (среднее число появлений события в n испытаниях), называется распределенной по закону Пуассона с параметром λ. М(Х) = D( X) = λ.

13.  Геометрическое распределение

Для бесконечной последовательности испытаний в схеме Бернулли случайная величина Х, равная числу испытаний до первого успеха включительно, имеет геометрическое распределение

где p - вероятность успеха. M( х )=1/р, D( X)=q/p^2

X	1	2	3	…	n	…
P	p	qp		…		…

  q=1-p