18. Пункты ўмоўнага экстрэмума ф.Д.З. Правіла Лагранжа знахожжання пунктаў умоўнага экстрэмума.

П.1. Паняцце ўмоўнага экстрэмума. Няхай дадзеная дыф ф-ыя z=f(x, y), і няхай дадзена раўнанне якое звязана з х і у (1) ф-ыя таксама дыф. Раўнанне (1) наз раўнаннем сувязі

Азн.1 Няхай каардынаты п.М₀(х₀,у₀) здавальняюць раўнанню сувязі (1). Калі ва ўсіх такіх пунктах (х,у), некаторага наваколля п. М₀(х₀,у₀) каардынаты якіх здавальняюць раўнанню сувязі (1) выконваецца няроўнасць f(x, y) f(x₀, y₀) (f(x, y) f(x₀, y₀)), то п.М₀(х₀,у₀)- наз п. умоўнага max(min),гавораць яшчэ, што ф-ыя f у п.М₀ мае ўмоўны max(min) ці ўмоўны экстрэмум. Пры срогіх няр-сцях гавораць аб строгім ўмоўным экстрэмуме.

Раўнанне сувязі (1) вызнач на мн-ве Е некаторую лінію L, г.зн. што ўмоўны экстрэмум вызнач толькі сярод пунктаў гэтай лініі L. Т.ч. калі - раўнанне сувязі, то ўмоўны экстрэмум вызнач на мн-ве Е пры ўмове

Прыклад1.

y -b=0- раўнанне сувязей. Умоўны max на y-b=0, дзе 0<b<1 ф-ыя набывае ў п.(0,b)

Прыклад2.

У папярэднім § мы высветлілі, што дадзеная ф-ыя не мае лакальны экстрэмум. Разгл няр сувязей у=0, пры гэтай умове . Вядома, што такая ф-ыя мае min у п.х=0, зн.п.(0,0) – п. ўмоўнага min пры раўнан сувязей у=0

Разгл мн-ва Е на якім вызнач ф-ыя z=f(x, y) і няхай Е₀ Е на якім выконваюцца раўнанні сувязей , тады азн умоўнага экстрэмума можна даць наступным чынам

Азн.2 П. М₀(х₀,у₀) наз п. умоўнага экстрэмума ф-ыі f пры выкананні ўмовы сувязі (1), калі гэты п. з’яўл пю лакальнага экстрэмума для звужэння ф-ыі на мн-ва Е₀.

Прыклад3. Знайсці п. умоўнага экстрэмума пры ўмове х+y-1=0

у=1-х, z=x²+(1-x²)=2x²-2x+1

Зн. п. лакальнага экстрэмума

– п. min ці п. ўмоўнага экстрэмума разгляд ф-ыі пры умове сувязі х+y-1=0

Заўвага1. Прыём знаходжання п. ўмоўных экстрэмумаў паказана ў прыкладзе не заўседы з’яўл простым, т.як у большасці выпадкаў атрым дастаткова складан ф-ыя z=f(x, y(х)), а ў некаторых выпадках не магчыма з раўн сувязі (1) яўна выраз праз х.Таму вывучым больш зручны спосаб знаходжання ўмоўнага экстрэмума

Заўвага2. На практыцы было рошана задача на знаходжанне найб знач ф-ыі u=xyz пры ўмове, што x+y+z=3a. Яе можна разглядаць як зад на ўмоўны экстрэмум з рраўн сувязі x+y+z=3a.

П.2.Правіла знаходжання п. лакальнага экстрэмума

Няхай дадзеная ф-ыя z=f(x, y), якая з’яўл 2-ы дыф на мн-ве Е і дадзенае раўнанне сувязі . Няхай у п. М₀(х₀,у₀) ф-ыя f мае ўмоўны экстрэмум. А раўнанне сувязі вызнач ф-ыю у=у(х) як неяўную ф-ыю х. тады па азн.2 складаная ф-ыя z=f(x, y(х)) мае лакальны экстрэмум у п. (х₀,у₀). Тады яе поўны дыф =0:

(2) дзе dx – адвольны прырост аргумента х, а – дыф неяўн ф-ыі у=у(х). калі ў раўнанні сувязі (1) над у разум неяўн ф-ыю х, то . Па гэтаму поўны дыф ф-ыі φ будзе роўны 0

(3)

І зложым з (2) λ – лікавы множнік некат множн Лагранжа

(4)

λ – будзем выбіраць так, каб множнік пры

=0 (5)

Тады (6)

Т.як то раўн (6) магчыма толькі пры ўмове (7)

(8)

З умоў (5),(7),(8) можна знайсці знач х₀,у₀ і λ. Т.ч. правіла знаходжання п. ўмоўнага экстрэмума можна сфарм наст чынам:

1. Ф(х,у)= - ф-ыя Лагранжа

2. Знойдзем частков вытворныя ф-ыі Ф і = іх да 0

3. С аставім сіс-му:

(9)

φ(х,у) = 0

4) знах сіс-му знач х і у гэта і будуць п-ты ў якіх ф-ыя будзе мець ўмоўны экстрэмум λ таксама можна знайсці(калі гэта патрэбна)

Заўвага3. Неабходная ўмова ўмоўнага экстрэмума зводзіцца да сіс-мы (9) з якой вызнач п-ты дзе ф-ыя можа мець умоўны экстрэмум. Пытанне аб існаванні і характ умоўнага экстр выраш пры дапамозе вывучэння знака 2-га дыф для ф-ыі Лагранжа для знойдзен знач х,у і λ. Пры той ўмове, што і звяз раўнан сувязі

Калі , то ф-ыя f у п. (х₀,у₀) мае ўмоўны max, калі > умоўны min.

Прыклад4. Зн умоўны экстрэмум ф-ыі z=xy пры раўнанні сувязі 2x+3y-5=0 (метад множнікаў Лагранжа)

1)Ф=ху+α(2х+3у-5)

2 ,3) у+2 α=0 x=5/4

х+3 α=0  y=5/6 (5/4,5/6)

2х+3у-5=0 α=-5/12

п. - п. ўмоўны max