32.Вылічэнне крывалінейнага інтэграла другога тыпу.

Крывую L будзем называць гладкай, калі ф-цыі Ψ(t) з x= y= Ψ(t) (1) маюць непарыўныя на непарыўныя вытворныя і

Тэарэма. Калі крывая L=AB зададзеная раўнаннямі (1) з’ял-ца гладкай і непарыўнай уздоўж L з’яўл.ф-цыі f(x,y), P(x,y),Q(x,y),то маюць месца наст.формулы: 1-га роду: Ψ(t) ) (8)

2-га роду: dt (9)

dt (10)

Доказ. Дакажам (9),ф-ла (10) дак-ца аналагічна. Па-першае, заўважым, што вызначаны інтэграл у правай частцы ф-лы (9) ,т.я. па ўмове тэарэмы функцыі P, , Ψ(t), -непарыўныя на . Зробім разбіўку адрэзка на частковыя адвольным чынам

Разгледзім інтэгральную суму ( ). Пры гэтым улічым, што

= =

Тады = =

З другога боку, пры разбіўцы на частковыя адрэзкі мы можам вызначаны інтэграл у правай частцы формулы (9) запісаць у выглядзе сумы інтэгралаў па частковым адрэзкам ,г.зн. атрымаем

I=

Ацэнім рознасць = . Т.я. па ўмове тэарэмы ф. , то k>0| | | k t

Па ўмове т-мы ф. з’ял-ца непар. на ,таму яна будзе з’яўл-ца і раўнамерна-непарыўнай на , значыць можна так мелка разбіць на частковыя, што на кожным з іх будзе выконвацца няроўнасць | | < . ацэнім модуль рознасці | |< ( )=

Т.чынам мы атрымалі, што , =>| |< >

Застаецца толькі заўважыць, што калі →0 => →0 Даказана. ))

Заўвага 4. А)Калі крывая L зададзена яўна y=y(x), дзе y(x)-непарыўна-дыфер. На ,то

(11)

Б) Калі L зададзена ў палярнай с.к. ф-цыяй r=r( ), якая з’яўл-ца непар-дыфер. На , то

(12)

33. Формула Грына.

Плоскую абмежаваную вобласць будзем называць простай, калі контур, які яе абмяжоўвае перасякаецца прамымі паралельнымі каардынатным восям не больш чым у 2-х пунктах.

Тэарэма. Няхай у простай замкнутай вобласці D, абмежеванай контурам L, вызначаны непарыўныя функцыі P(x,y) і Q(x,y), якія маюць непарыўныя частковыя вытворныя і . тады мае месца наст.формула:

= (1)

Формула (1) наз-ца формулай Грына

Д-з:

Няхай контур L зададзены неяўным раўнаннем F(x,y)=0,т.я. L-замкнутая крывая,то пры рашэнні гэтага раўнання атрым.2наст. = = c

Тады

Т.я.пры фіксаваным y функцыя Q(x,y) будзе з’яляцца першаіснай для ф. :

Тады (2)

З другога боку разгл.крывалін.інтэгралы ф-лы (1)

З апошніх 2-х раўнанняў=> крывалінейны інтэграл (3)

Параўнаем ф-лы (2) і (3) атрымаем, (4)

Аналагічнымі разважаннямі можна даказаць, што , (5)

Склаўшы ф-лы (4) і (5) атрымаем ф-лу (1). Даказана

Вынік1. Формула Грына выконваецца для ўсякай замкнутай вобласці, якую можна разбіць на канечны лік простых замкнутых вобласцей. = + = =>

Вынік2. Няхай вобласць D у плоскасці XOY абмежавана контурам L. Вядома,што двайны інтэграл па D выражае плошчу фігуры D, калі f(x,y)=1 , калі =1.

Значыць,калі у формуле Грына ф-цыі P,Q падабраць такім чынам, каб тады плошчу фігуры можна знайсці па ф-ле: S(D)=

P=0 =>

Q=x =>

Калі пакласці P=0 і Q=x, то S(D) атрым-ца S(D)= (6)

Аналагічна, калі P=-y і Q=0 то S(D) атрым-ца S(D)= (7)

(6) і (7)=> S(D)= (8)