3.Частковыя вытворныя ф.Д.З. Дыферэнцавальнасць ф.Д.З. Геаметрычны сэнс частковых вытворных.

Няхай дадзена функцыя z = f(x,y) вызначаная на D є R² і пункт М₀ (х₀,у₀) – унутраны пункт є D. Нададзім зменнай х₀ прырост ∆х , а у - змяняць не будзем.

Атрымаем М’(х₀ +∆х, у₀), M’єD. Пры гэтым значэнне функцыі таксама зменніца, яно роўна: ∆_хf(х₀,у₀) =f(х₀ +∆х, у₀) - f(х₀,у₀) - частковы прырост функцыі f па зменнай х. Частковы прырост функцыі f па зменнай у: ∆_уf(х₀,у₀) =f(х₀ , у₀ +∆у) - f(х₀,у₀).

Азн 1. Калі існуе канечны lim ∆_хf(х₀,у₀) / ∆х (lim ∆_yf(х₀,у₀) / ∆y ), то ён

^{∆х→0 ∆у→0}

называецца частковай вытворнай функцыі f па зменнай х (у) і абазначаецца:

f_x’(х₀,у₀) ці f_x’, df(х₀,у₀)/dx ці df/dx (f_у’, df/dу).

Заўвага. З азн 1 = > што частковая вытворная функцыі многіх зменных = вытворнай функцыі адной зменнай, якая атрымана пры ўмове, што другая незалежная зменная мае пастаяннае значэнне.

Азн 2. Поўным прыростам функцыі f у пункце (х₀,у₀) называецца той прырост функцыі, які яна атрымоўвае пры адвольных прыростах абоіх аргументаў, г. зн.

∆f(х₀,у₀) =f(х₀ +∆х, у₀+∆у) - f(х₀,у₀).

Азн 3. Калі поўны прырост функцыі f у п. (х₀,у₀) можна прадставіць у выглядзе

∆f(х₀,у₀) = А∆х+В∆y +α∆х+β∆y (1), дзе α, β – бясконца малыя велічыні, залежачыя ад ∆х, ∆y, калі ∆х→0, ∆y→0, α = α (∆х, ∆y), β = β (∆х, ∆y), то функцыя f называецца дыферэнцавальнай у пункце (х₀,у₀).

Тэарэма:(аб існаванні частковай вытворнай): Калі ф-ыя f дыферэнцавальная ў п.(х₀,у₀), то ў гэтым пункце яна мае частковыя вытворныя, прычым f_х’(х₀,у₀)=A, f_y’(х₀,у₀)=B, дзе А, В-лікі з (1).

▲Т.як ф-ыя дыфер., то выконваецца (1). Няхай у ёй ∆y=0, ∆х≠0

f(х₀ +∆х, у₀) - f(х₀,у₀)=А∆х+α∆х. Раздзелім на ∆х, т.як ∆х≠0= >∆_хf(х₀,у₀)/ ∆х=A+α

Калі ў апошняй роўнасці перайсці да lim, калі ∆х→0: f_х’(х₀,у₀)=A, f_у’(х₀,у₀)=В. ■

Тэарэма:(сувязь паміж непарыўнасцю і дыферэнцавальнасцю): Калі ф-ыя дыферэнц. у п. (х₀,у₀), то яна і непарыўна у гэтым пункце.

▲Т.як ф-ыя дыферэнц.у п. (х₀,у₀), то выконваецца (1), адкуль можна атрымаць, што lim ∆ f = 0= >ф-ыя непарыўная. ■

^{∆х→0, ∆y→0}

Азн 4: ф-цыя наз.дыфер.у п. , калі | , дзе ,

4. Частковыя вытворныя ф.Д.З. Сувязь паміж дыферынцаванасцю і існаваннем частковых вытворных.

Няхай дадзена функцыя z = f(x,y) вызначаная на D  R² і пункт М₀ (х₀,у₀) – унутраны пункт  D. (існуе адкрыты круг з цэнтрам М₀, які поўнасцю знаходзіцца ў мностве пунктаў {D}(А R², А – цэнтр, r = ε, ρ(A,M)< ε )). Нададзім зменнай х₀ прырост ∆х , а у - змяняць не будзем. Атрымаем М’(х₀ +∆х, у₀), M’ D. Пры гэтым значэнне функцыі таксама зменніца, яно роўна:∆_хf(х₀,у₀) =f(х₀ +∆х, у₀) - f(х₀,у₀) - частковы прырост функцыі f па зменнай х.Частковы прырост функцыі f па зменнай у: ∆_уf(х₀,у₀) =f(х₀ , у₀ +∆у) - f(х₀,у₀)

Азн 1. Калі існуе канечны , то ён называецца частковай вытворнай функцыі f па зменнай х (у) і абазначаецца:

f_x’(х₀,у₀) ці f_x’, , .

Заўвага. З азн 1 = > што частковая вытворная функцыі многіх зменных = вытворнай функцыі адной зменнай, якая атрымана пры ўмове, што другая незалежная зменная мае пастаяннае значэнне.

Азн 2. Поўным прыростам функцыі f у пункце (х₀ , у₀) называецца той прырост функцыі, які яна атрымоўвае пры адвольных прыростах абоіх аргументаў, г. зн.

∆f(х₀ , у₀) =f(х₀ + ∆х, у₀ + ∆у) - f(х₀ , у₀).

Азн 3. Калі поўны прырост функцыі f у п. (х₀ , у₀) можна прадставіць у выглядзе

∆f( х₀ , у₀) = А∆х+В∆y +α∆х+β∆y (1), дзе α, β – бясконца малыя велічыні, залежачыя ад ∆х, ∆y, калі ∆х→0, ∆y→0, α = α (∆х,∆y), β = β (∆х,∆y), то функцыя f называецца дыферэнцавальнай у пункце (х₀,у₀).

Тэарэма(дастатковая умова дыферынцаванасці функц. у тэрмінах уласцівасці частковых вытворных):Няхай функцыя x=f(x, y) у некаторым наваколлі п(x₀, y₀) мае частковую вытворную , якая не мае парываў у п(x₀,y₀), тады гэта функц. z=f(x, y) дыфер. у гэтым пункце.

Д-з: Няхай U_(x₀, y₀). На гэтым мностве вызнач. функц. z=f(x, y) і яе частков. вытворная f_x^’ , f_y^’. Возьмем x,y такім чынам , каб п. (x₀ + x,y₀ + y) U_(x₀, y₀).

x=f(x₀+x , y₀+y)-f(x₀ , y₀)=(f(x₀+x , y₀+y)-f(x₀ , y₀+y))+(f(x₀,y₀+y)-f(x_0,y₀))=

Выразы, якія знаходз. у дужках, з’яўл. прыростам функц. толькі па 1-ай зменнай. Прыменім да гэтых роўнасцей т.Лагранжа. f (x₀+x)-f(x₀)=f(x₀+₁x)x, 0<₁<1 гэта магчыма, т.як функц. f(x,y₀+y) мае на адрэзку [x₀, x₀+x] вытворн. па умове непар., таму яна непар. на [x₀, x₀+x] , аналагічна для f(x₀, y) тады

=f_x^’(x₀ + ₁x , y₀ + y)x+f_y^’( x₀ , y₀ + ₂y )y (*)

0<₁<1, 0<₂<1

т.як вытворная f_x^’ і f_y^’- непарыўн. у п.(x₀ , y₀), то

f_x^’(x₀+₁x , y₀+y) = f_x^’(x₀ , y₀)+

f_y^’(x₀ , y₀+₂y) = f_y^’(x₀ , y₀)+ (**)

дзе

Падставім у (**) і (*), атрымаем x= f_x^’ (x₀ , y₀)x+ f_y^’(x₀ , y₀)y+x+y, дзе ■

Вынік: Калі функц. x=f(x,y) у некаторым наваколлі п.(x₀ , y₀) мае частковую вытворную і гэта вытворн. непар. у п.(x₀ , y₀), тады функц. z=f(x, y) таксама непар. у гэтым пункце.

Азн: Функцыя, якая мая непар. частков. вытворн. у некатор. пункце (ці на некаторым мностве) назыв. непарыўна-дыферынц. у гэтым пункце (на мностве).

З непарыўн. дыферынц.дыферынц. функцыі

Заўвага: Усе азнач. і суджэнні маюць месца і ў выпадку, калі z=f(x), x=(x₁,x₂,…,x_n) пры ўмове, што f вызнач. у некатор. наваколлі п.x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾,….x_n⁽⁰⁾)