9.Дыферэнцавальнасць складанай функцыі.

Тэарэма 3.Разгледзім n-мерный выпадак. Няхай у наваколлі пункта зададзена функцыя і на некаторым мностве зададзена функцыя , дзе .Няхай . Калі функцыя дыферанцавальная у пункце дыферанцавальная і у пункце частковыя вытворныя , , тады складаная функцыя мае у пункце частковыя вытворныя , якая роўна

Азначэнне дыферанцавальнасці 1: Калі поуны прырост ф-ыі f у п( , ) можна прадставіць у выглядзе дзе -бясконца малыя велічыні залежныя ад , калі ,

то ф-ыя f наз дыферанцавальнай у п ( , )

Азначэнне дыферанцавальнасці 2: Ф-ыя f наз дыферанцавальнай у п ( , ), калі існуюць два такія лікі А,В, што дзе дзе

Азначэнне поунага прыроста: Поуным прыростам ф-ыі f у п ( , ) наз той прырост ф-ыі, які яна атрымоувае пры адвльных прырастах абіх аргументау. Гэта значыць

_{Азначэнне частковай вытворнай}: Калі існуе канечны ( ), то ен наз частковай вытворнай ф-ыі f па зменнай x(па зменнай y)і абазначаецца , , , _.

10. Інварыянтнасць формы першага дыферанцыяла.

Азначэнне: У выпадку дыферанцавальнасці функцыі у пункце лінейная функцыя адносна зменных называецца поўным дыферанцыялам ці проста дыферанцыялам функцыі ў пункце і абазначаецца . Дамовілісь

Дыферанцыял запісваецца ў выглядзе:

Тэарэма1: Няхай функцыя вызначана ў некаторым наваколлі пункту , а функцыя , дзе вызначана ў некаторым наваколлі пункта Няхай тады калі функцыя дыферанцавальная ў пункце , а дыферанцавальная ў пункце ,

то складаная функцыя вызначана ў некаторым наваколлі пункту і дыферанцыяльна ў гэтым пункце, пры гэтым дыферанцыял мае выгляд:

ці

Доказ:Гэтая тэарэма і з’яўляецца выразам уласцівасцей інварыянтнасці поўнага дыферанцыяла адносна выбару зменных. Уласцівасці інварыянтнасці формы першага дыферанцыяла дапамагае высвятліць наступныя правіла дыферанцавання:

Калі функцыі і функцыі некаторага ліку зменных, то можна з дапамогай гэтай тэарэмы атрымаць наступныя правіла:

1.

2.

3.

Доказ 3:Разгледзім функцыі 2-х зменных

. Паводле інварыянтнасці формы першага дыферанцыяла выраз з’ўляецца дыферанцыялам і ў выпадку, калі і з’яўляюцца функцыямі ад якіх-небудзь зменных.

4.

5. Поўным дыферанцыялам функцыі адрозніваецца ад поўнага прыроста больш высокага парадку маласці , чым велічыня

Доказ 5:Калі функцыя дыферанцыяльна, то яе поўны прырост дзе , калі

для гэтага нам патрэбна даказаць, што

-бясконца малыя, -абмежаваныя.

Гэтая ўласцівасць можа быць сфармулявана так:Поўны дыферанцыял функцыі ёсць галоўная лінейная частка поўнага прыроста.

6. Пры дастаткова малых і , а значыць і і можна прыблізна вылічыць поўны дыферанцыял роўны поўнаму прыросту функцыі, г.зн. .

Гэта формула выкарыстоўваецца для вылічэння набліжанага значэння функцыі і для ацэнкі хібнасцей вылічэнняў(гл.для функцыі адной зменнай).

Заўвага:Здабытак і называецца частковымі дыферанцыяламі функцыі