7.Дыферанцавальнасць складанай функцыі. Даказаць тэарэму1.

Тэарэма: Няхай ф-ыі x(t),y(t) аднаго зменнага t дыферанцавальныя у пункце (гэта рауназначна існаванню вытворных гэтых ф-ый у п. ) .Калі ф-ыя z=f(x ,y) дыферанцавальная у п ( , ), тады складаная ф-ыя z=f(x(t),y(t)) вызначаная у п , мае у п вытворную. Гэта вытворная вызначаецца па формуле (1).

Доказ. Функцыя f(x,y) у адпаведнасці з азначэннем дыферанцавальнасці ф-ыі вызначана у некаторым наваколлі п ( , ). Ф-ыі x(t),y(t)-дыферанцавальныя ф-ыі, а гэта значыць непарыуныя у п , таму у некаторым наваколлі п адзначана складаная ф-ыя f(x(t),y(t)). З дыферанцавальнасці ф-ыі f(x ,y) у п( , ) вынікае ,што яе пойны прырост

дзе (*)

Давызначым ф-ыю f( x , y) па непарыунасці паложым (0,0)=0. Тады ф-ыя будзе непарыунай у п (0,0). Няхай -прырост зменнай t

Падзелім абедзве часткі (*)на . Будзем мець

(**)

Калі так як x(t),y(t)-непарыуныя у п , таму , , а гэта значыць і Акрамя таго гэта канечны лік, так як непарыуны у п (0,0),то у адпаведнасці з тэарэмай аб кампазіцыі непарыуных ф-ый . Пяройдзем да lim у роунасці (**),калі . Атрымаем формулу (1). ))

Азначэнне дыферанцавальнасці 1: Калі поуны прырост ф-ыі f у п( , ) можна прадставіць у выглядзе дзе -бясконца малыя велічыні залежныя ад , калі ,

то ф-ыя f наз дыферанцавальнай у п ( , )

Азначэнне дыферанцавальнасці 2: Ф-ыя f наз дыферанцавальнай у п ( , ), калі існуюць два такія лікі А,В, што дзе дзе

Азначэнне поунага прыроста: Поуным прыростам ф-ыі f у п ( , ) наз той прырост ф-ыі, які яна атрымоувае пры адвльных прырастах абіх аргументау. Гэта значыць

Прыклад

8. Дыферанцавальнасць складанай функцыі. Даказаць тэарэму2

Тэарэма: Няхай ф-ыі x=x(u,v), y=y(u,v) вызначаны у некаторым наваколлі п ( , ), а ф-ыя z=f(x,y) вызначана у наваколлі п ( , ), дзе Калі ф-ыя z=f(x,y) даферацавальна у п ( , ) і калі п ( , ) існуюць частковыя вытворныя тады у гэтым п( , ) існуе і частковая вытворная складанай ф-ыі z=f(x(u,v),y(u,v)) мае месца роунасць

Доказ. Зафіксуем і будзем разглядаць складаную ф-ыю z=f(x(u, ),y(u, )) адной зменнай u. У адпаведнасці з тэарэмай (Няхай ф-ыі x(t),y(t) аднаго зменнага t дыферанцавальныя у пункце (гэта рауназначна існаванню вытворных гэтых ф-ый у п. ) .Калі ф-ыя z=f(x ,y) дыферанцавальная у п ( , ), тады складаная ф-ыя z=f(x(t),y(t)) вызначаная у п , мае у п вытворную. Гэта вытворная вызначаецца па формуле (1))гэта ф-ыя вызначана у некаторым наваколлі п і мае у гэтым пункце вытворную якая вызначана па формуле

Азначэнне дыферанцавальнасці 1: Калі поуны прырост ф-ыі f у п( , ) можна прадставіць у выглядзе дзе -бясконца малыя велічыні залежныя ад , калі ,

то ф-ыя f наз дыферанцавальнай у п ( , )

Азначэнне дыферанцавальнасці 2: Ф-ыя f наз дыферанцавальнай у п ( , ), калі існуюць два такія лікі А,В, што дзе дзе

Азначэнне поунага прыроста: Поуным прыростам ф-ыі f у п ( , ) наз. той прырост ф-ыі, які яна атрымоувае пры адвльных прырастах абіх аргументау. Гэта значыць

Азначэнне частковай вытворнай: Калі існуе канечны ( ), то ен наз частковай вытворнай ф-ыі f па зменнай x(па зменнай y)і абазначаецца , , ,

Прыклад