25 Паняцце трайнога інтэграла, умовы яго існавання і ўл-сці (доказы).
(паняцце трайнога інтэграла) Няхай на некаторым замкнутым мностве E⊂R3 зададзена ф-цыя u=f(x,y,z), мн-ва Е-будзем называть прасторавай вобласцю. Разаб’ём гэтую вобласть адвольным чынам, на канечную колькасть частак E1, E2, … ,En.
Прычым гэтыя частки маюць аб’ёмы V(E1), …, V(En). На кожным частковым мностве адвольным n
чынам выбярам пункт (ξk,ηk,ϒk) і саставім наступныя інтэгральныя сумы, σ=⅀ f(ξk,ηk,ϒk)Vk (1)
k=1
абазначым праз λ- найбольшы з дыаметрау частковых вобласцей Ek.
Азнач1.
Кали иснуе канечны лик I
интэгральнай сумы (1), пры умове, што
найбольшы з дыяметрау λ частковых
мн-вау имкнецца да 0, не залежачы не ад
спосабу разбийки мн-ва E
на частковыя не ад выбару пункта
(ξk,ηk,ϒk),
то гэты лик I
называецца трайным интэгралам функции
f
на мностве E
и абазначауцца
=
пры гэтым функцыя f
называецца интэгравальнай па мн-ву E.
Заувага: Не цяжка зайважыць , што трайны нитэграл з’яуляецца аналагам двайнога интэграла, тольки будуецца для ф-цыи трох зменных у прасторы dim 3.
(існаванне і уласцівасці)
Як і у выпадку двайнога интэграла можна устанавить што иснуе трайны интэграл, тольки для абмежававаных ф-цый, для таких ф-цый можна увесци паняцце нижняй и верхняй сумы Дарбу.
Тэарэма1:(неабходная и дастатковая умова иснавання трайнога интэграла)
Для
таго каб абмежаваная ф-цыя u=f(x,y,z),
была интэгравальнай н. и д. кааб
Тэарэма2:( дастатковая умова интэгравання)
Калі ф-цыя u непарыуна на мн-ве E, то яна і інтэгравальная на гэтым мн-ве.
(уласцівасці)
1. калі k-const
Прычым з иснавання интэграла з права выникае иснаванне интэграла з лева.
2.
Кали на мностве Е интэгравальными
з’яуляюцца ф-цыи f
и g,
то на гэтым мн-ве интэгравальнай будзе
з’яуляцца ф-цыя f±g,
прычым
3.
кали на мн-ве E=E1υE2
и ф-цыя f
интэгравальная на мн-вах E1
и E2
, то яна з’яуляецца интэграввальнай на
Е, прычым
4.Кали
для интэгравальных на мностве Е ф-цый
f
и g
выконваецца f(x,y,z)
≤g(x,y,z),∀(x,y,z)
5.
кали f
интэгравальная на Е, и |f|
т.с. интэгравальная , то
6.
кали функцыя непарыуна на замкнутым
мностве Е, то иснуе пункт (x0,y0,z0)∊E
, таки што
26 Вылічэнне трайнога інтэграла
Н
E
Exy
z2=z2(x,y)
z1=z1(x,y)
y2=y2(x)
y1=y1(x)
яхай ф-цыя f непарыуна на мн-ве E⊂R3, праекцыя гэтага мн-ва на плоскасць Exy няхай з’яуляецца квадравальнай фигурай, ф-цыя z1(x,y) и z2(x,y), з’яуляюцца непарыуными на мностве Exy, прычым z1(x,y) ≤ z2(x,y), ∀(x,y)∊Exy.
У дэкартавых каардынатах вобласть E называецца стандартнай у накирунку воси Oz, кали яе можна записать у выглядзе систэмы,
Пры гэтым кали Exy:
То E:
Пагэтаму выличэнне трайнога интэграла зводзицца да выличэння наступнага интэграла
Заувага:
Кали ва усих пунктах мн-ва E
f)x,y,z)=1,
то
