23.Крывалінейныя каардыеаты на каардынатнай пл—сці. Прыклады.

Няхай зменныя х і у з’яул. функцыямі дзвюх другіх незалежных зменных. Г. зн. х=х(u,v), у=у(u,v) (1). Прычым х(u,v) і у(u,v) - непар. і маюць непар. частковыя вытворныя па u,v на некаторым мн-ве Д. Пры пастаянным значэнні адной з пераменных u ці v, пункт апісвае некаторую крывую. Розным знач. u адпавядае сістэма ліній, якія наз. u лініямі. Аналагічна і для v. Т. ч. любой пары (u,v) адпавядае некаторы пэуны пункт , як пункт перасяч. u і v ліній. Будзем разглядаць мн-ва Д плоскасці ХОУ, унутры якога, кожная u-лінія перасякаецца з кожнай v-лініяй небольш чым у адным пункце. Прычым праз кожны пункт мн-ва Д абавязкова праходзяць і u, і v лініі. Для такога мн-ва адпаведнасць пар знач. з аднаго боку і пар (u,v) – з другога, будзе узаемна-адназначнай. Т.ч. пункт плоскасці ХОУ адназначна вызначаецца каард. u,v, якія наз. для яго крывалін. каард. Калі u,v разгляд. як прамавугольныя каардынаты у сістэме каардынат UOV, то на ей мн-ву Д будзе адпавядаць Д”. Прычым адпаведнасць паміж Д і Д” будзе узаемна-адпаведным. Калі пункт (u,v) апісвае граніцу мн-ва Д”, то адпаведны пункт будзе апісваць граніцу мн-ва Д. Т. ч. (1) адназначна выражаецца адносна u і v. Г. зн. u=u(x,y), v=v(x,y) (2). Т. ч. мы разглядзелі пераутварэнне плоскасці UO”V на плоскасць ХОУ , якая задаецца формуламі (1) і наадварот.

Прыклады:

Палярныя каардынаты x=r y=r , r 0, 0 .

Калі r і адкладваюць у прамавуг. сістэме каардэн. r , дзе r- абсцысса, - ардыната, то любы пункт ( ) будзе адпавядаць адзіны пункт , пры гэтым на плоскасці ХОУ кожнаму пастаяннаму будзе адпавядаць акружнасць з цэнтрам у пачатку каардынат і радыусам . А любое значэнне (пастаяннае) у плоскасці ХОУ – промні з пачаткам у пункце (0,0).

24. Якабіан. Формула замены зменнай ў двайным інтэграле.

Выдзелім на плоскасці UO”V бясконца малы прамавугольнік: , са старанамі du, dv. Яго стораны паралельны восям О” U, O”V. Адлюстраваннем гэтага прамавугольніка на плоскасць ХОУ будзе крывалінейны чатырохвугольнік .

х=х(u,v), у=у(u,v).

Вяршыні крывалінейнага чатырохвугольніка маюць каардынаты:

(x(u,v+dv);y(u,v+dv))

Вылічым плошчу чатырохвугольніка . Т .як дугі і г. д. вельмі малыя, то прыблізна мы можам іх лічыць прамымі. Акрамя гэтага прыросты функцый х(u,v) і у(u,v) мы можам прыблізна лічыць роунымі дыферынцыялам. Г. зн. - = ’du і значыць = ’du+ .

Аналагічна можна атрымаць, што x(u,v+dv)= ’dv+ і = ’du+ ’dv+ .

Аналагічна і для функцыі у(u,v).

Тады каард. вяршынь крывал. Чатырохвугольніка запішуцца у выглядзе:

’du;y+ ’du)

’du+ ’dv;y+ ’du+ ’dv)

’dv; y+ ’dv).

Гэтыя каард. паказваюць, што праекцыі , на абоі восі роуныя. Таму можам лічыць, што - паралелаграм.

З аналітычнай геаметрыі вядома, што калі вяршыні паралелаграма маюць каардынаты А( ), В( , С( ),то яго плошчу можна вылічыць як абсалютную велічыню дэтэрмінанта:

Значыць

S(паралелаграма)= = dudv , дзе Ј= .

Ј наз. дэтэрмінантам Якабі, ці Якабіанам. S = dudv= S’.

Выраз dudv наз. элементам плошчы у крывалінейных каардынатах.

Калі мн-ва Д” плоскасці UO”V прамымі паралельнымі восям, разбіць на бясконца малыя прамавугольнікі, і не улічваць тыя з іх, якія атрымоуваюцца на граніцы мн-ва (яны вельмі малыя), мы тым самым разбіваем мн-ва Д плоскасці ХОУ на крывалінейныя чатырохвугольнікі разгледжанага вышэй выгляду. Калі скласці атрыманыя выразы для плошчау гэтых прамавугольнікау і перайсці да ліміта, калі du і dv імкнуцца да 0, то

S(Д)= = (1).

Тэар.1 (аб сярэднім для двайнога інтэграла). Калі функцыя - непарыуная на замкнутым, звязным мн-ве Д, то ( ) Д такі, што = ) S(Д), S(Д) – плошча Д.

Тэар.2 (Замена зменнай у двайным інтэграле) Няхай непарыуныя дыферанцаваныя функцыі х=х(u,v), у=у(u,v) ажыцяуляюць адназначнае адлюстраванне абмежаванай замкнутай вобласці Д” плоскасці UO”V па вобласці Д плоскасці ХОУ, тады мае месца наступная роунасць:

.(2)

Доказ:

Разаб’ем мн-ва Д” прамымі паралельнымі UO”, O”V адвольным чынам на часткі ”. Тады вобласць Д разаб’ецца на частковыя мн-вы і па формуле (1) атрымаем:

S( )= . Па тэарэме аб сярэднем маем:

S( )= S( ), , =х , =у .

Тады інтэгральная сума функцыі на мн-ве Д можа быць запісана:

х , у ) S( )= х , у ) S( ).(3)

У левай часцы (3) запісана інтэгральная сума для інтэграла левай часткі (2), а правая частка (3) з’яул. інтэгральнай сумай для інтэграла, які стаіць у правай часцы (2).

Таму, калі у(3) перайсці да ліміта, калі λ 0 і λ 0, дзе λ і λ - найбольшыя хорды частковых мн-вау і то атрымаем (2). Даказана. ))