4.2.Однородная система линейных

алгебраических уравнений.

Матричная запись: АХ=0

Расширенная матрица отличается от матрицы самой системы наличием нулевого столбца, т.е. ранг матрицы А rang A равен рангу расширенной матрицы rang B.

r_A=r_B

Значит, по теореме Кронеккера - Капелли, система однородных линейных уравнений всегда совместна. Одно решение очевидно: x_i=0 (i=1,...,n). Это решение называется тривиальным. Следуя далее теореме Кронеккера - Капелли, придём к выводу, что если r_A=n, то решение единственное - тривиальное. Если r_A<n, то решений бесконечное множество. Рассуждая таким образом, мы доказали следующую теорему:

Для того, чтобы система однородных уравнений имела решения, отличные от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных. Другими словами, если число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда detA=0.

Очевидны следующие свойства ненулевого решения:

1). Если - решение, то - тоже решение.

2). Если - решения, то и - тоже решения.

В действительности этих свойств можно убедиться непосредственной подстановкой.

Обозначим главные неизвестные через х₁ ,...,х₂. Тогда, аналогично (****):

В матричной форме:

Можно записать так:

Решения X₁,X₂,…,X_n-r называются фундаментальной системой решений однородной системы. Общее решение системы X является линейной комбинацией фундаментальной системой решений

X=c₁X₁+c₂X₂+...+c_n-rX_n-r.

Пример:

За главные неизвестные необходимо выбирать такие, при которых матрица коэффициентов не вырождена, т.е. ее определитель не равен нулю.

Возьмём за главные неизвестные х₁ и х₄, поскольку переменные х₁ и х₂ не годятся на эту роль: . Система имеет вид; и она легко решается:

.

Получаем фундаментальную систему решений:

Общее решение:

X=с₁X₁+с₂X₂

5.Векторы.

5.1. Понятие вектора.

Существуют величины, которые характеризуются помимо своей величины ещё и направленностью. Это скорость, ускорение, сила, смещение материальной точки и т.п. Можно абстрагироваться от конкретной физической величины и вначале просто считать, что вектор - это направленный отрезок

Будем обозначать направленный отрезок просто AB. Здесь А - начало вектора, В - конец вектора. Через будем обозначать длину направленного отрезка(символ модуля).

Направленный отрезок называется нулевым, если его начало и конец совпадают. То, от какой точки отложен отрезок значения не имеет.

Важное свойство направленных отрезков - коллинеарность. Два отрезка называются коллинеарными, если либо они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Направленные отрезки используют для представления векторов.

Понятие вектора получается. если ввести отношение эквивалентности (равенства) направленных отрезков: два направленных отрезка представляют равные векторы, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Нулевые отрезки определяют нулевой вектор.

Из определения равенства векторов следует, что мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Иными словами, точка приложения вектора может быть произвольной. В соответствии с этим векторы в геометрии называются свободными.