3.1. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Если число уравнений равно числу неизвестных, то система уравнений

АХ=В (*) имеет квадратную матрицу. Если число уравнений n, то матрица А - квадратная n-ного порядка. Заметим, что если матрица А невырожденная, , то система имеет единственное решение. Действительно, поскольку А не вырожденная матрица, то существует обратная матрица А^-1. Умножим обе части (*) на А^-1:

А^-1АХ=А^-1В.

Однако А^-1А=Е, а ЕХ=Х.

Следовательно, решение единственное и выражается произведением матриц:

Х=А^-1В

3.2. Понятие линейной зависимости строк.

Договоримся строку матрицы называть линейной комбинацией строк , если для некоторых вещественных чисел справедливы равенства:

(*)

пример: А=5 1 2

В=2 1 1 А=2В+С

С=1 -1 0

Определение. Строки А=(а₁,...,а_n), В=(b₁,...,b_n), ...С=(с₁,с₂,...,с_n) называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , не все равные нулю, что справедливы равенства :

(**)

и соответственно строки называются линейно независимыми, если эти равенства возможны только когда все числа равны нулю.

Теорема. Для того, чтобы строки А,В,… ,С были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных строк.

Необходимость. Пусть строки линейно зависимы, т.е. выполняется равенство (**), где хотя бы одно число не равно нулю. Для определённости положим, что . Тогда можно записать:

а это и означает линейную комбинацию строк.

Достаточность. Пусть одна из строк является линейной комбинацией других, т.е.

+…

перепишем в виде … . Т.к. из чисел одно отлично от нуля, то последнее равенство устанавливает линейную зависимость строк.

3.3. Ранг матрицы.

Запишем определение. Минором k-того порядка прямоугольной матрицы А называется определитель матрицы k-того порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов.

Предположим, что хотя бы один элемент матрицы А отличен от 0. Тогда найдётся такое целое положительное число r, что будут выполнены два условия:

1) у матрицы А имеется минор r-того порядка, отличный от 0;

2. всякий минор (r+1)-го порядка и более (если такие есть), равен нулю.

Число r, удовлетворяющее двум требованиям, назовём рангом матрицы. А минор r-того порядка, который отличен от нуля, назовём базисным минором. Строки и столбцы, из которых состоит базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами.

Теорема о базисном миноре (без доказательства).

Базисные строки (или столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Итак, если у матрицы все миноры порядка k>r равны нулю, а среди миноров r-того порядка хотя бы один не равен нулю, то число r называется рангом матрицы.

Для того, чтобы вычислить ранг матрицы, необходимо, очевидно, вычислить все её миноры и среди них найти минор наибольшего порядка, не равный нулю. Отсюда, кстати следует, что ранг невырожденной матрицы равен порядку матрицы.

Существует, однако, более простое правило вычисления ранга матрицы. Прежде чем к нему обратиться, условимся считать элементарными следующие преобразования матрицы:

1) умножение всех элементов некоторой строки на число ;

2) сложение соответствующих элементов одной строки с соответствующими элементами другой строки, умноженными на некоторое число ;

3) перемена местами строк матрицы;

4) вычеркивание из матрицы нулевых строк.

Теорема (без доказательства): элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.

Поясним всё сказанное простым примером:

Рассмотрим матрицу А: . Её определитель равен , поэтому это -- вырожденная матрица.

Проделаем над ней элементарные преобразования: умножим первую строку на 2 и вычтем из второй, результат запишем во вторую строку; умножим первую строку на три, вычтем из третьей строки и результат запишем в третью строку:

Мы получили треугольную матрицу. Раскрывая определитель такой матрицы последовательно сначала по первому столбцу, затем по второму и т.д., легко убедиться, что её определитель равен произведению членов, стоящих на главной диагонали. Отсюда сразу видно, что есть миноры не равные нулю второго порядка: , т.е. ранг такой матрицы равен 2.

В общем случае, даже если матрица А квадратная, треугольную матрицу получить не удастся, ранг матрицы А может оказаться меньше ее размера. Получают не треугольную, а более общую ступенчатую матрицу. У такой матрицы в начале каждой строки заглавные ненулевые элементы попадают в разные столбцы матрицы. После подходящей перестановки строк получаются ступеньки, в начало которых попадают ненулевые элементы строк. Этой сложности можно избежать, если рассмотреть еще одно преобразование:

5) перестановка местами столбцов матрицы.

Теорема будет справедлива и для преобразований такого типа. Поэтому при вычислении определителя можно использовать весь набор преобразований 1)-5). При этом любую матрицу можно будет привести к такому ступенчатому виду, в котором начало каждой следующей ступеньки матрицы будет ровно на единицу дальше.

Сейчас обратим своё внимание на приём, в котором квадратная матрица выше была преобразована в треугольную матрицу. Этот приём лежит в основе метода решения систем линейных уравнений, называемого методом Гаусса. Вы уже знаете два метода: метод Крамера и метод с использованием обратной матрицы. Они требуют громоздких вычислений определителей. Для практических решений более удобным является способ Гаусса (или способ исключения неизвестных).