11.2.Неравенство Коши-Буняковского.

Теорема. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидового пространства справедливо неравенство

(x, y)²  (x, x)(y, y),

называемое неравенство Коши – Буняковского.

Доказательство: в силу аксиомы 4⁰ имеем

( x – y,  x - y)  0.

В силу аксиом 1⁰ - 3⁰ раскроем это неравенство:

² (x, x) - 2(x, y) + (y, y)  0

Этот трехчлен больше или равен нулю. Т.е. квадратное уравнение относительно  не имеет действительных корней, а может иметь лишь нулевой корень. Значит его дискриминант равен или меньше нуля:

D = (x, y)² – (x, x)(y, y)  0

или (x, y)² < (x, x)(y, y) |x, y|  |x||y|.

Теорема доказана.

11.3. Норма вектора. Нормированное пространство.

Определим длину или норму вектора, которую обозначим

,

здесь учтена аксиома 4⁰ и берется арифметическое значение корня. Из определения нормы вытекает:

1. |x| > 0 при x  0 и |x| = 0 только, если x = 0.

2. | x| = || |x|

Вектор x, длина которого равна единице, называется нормированным. Очевидно, всякий ненулевой вектор можно пронормировать, умножив его на число . Полученный вектор будет нормированным.

Определим угол между векторами. Углом между векторами назовем угол, косинус которого определяется из соотношения

в силу неравенства Коши – Буняковского |cos |  1, что корректно.

Договоримся считать два вектора евклидового пространства х и у ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что в евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора:

|| x + y ||² = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = || x ||² + || y ||²

Приведем пример условия ортогональности двух векторов x и y в пространстве Aⁿ

x₁y₁ + x₂y₂ + … + x_ny_n = 0.

Вспомним, что это условие ортогональности двух векторов, которое в векторной алгебре мы получили из скалярного произведения.

В пространстве C(a, b) условие ортогональности имеет вид

Например, векторы x = cos nt и y = sin mt, где m и n – целые, ортогональны при a = - и b = 

С этим важным примером мы будем часто встречаться в математике.

Теперь введем определение: линейное пространство R называется нормированным, если выполнены следующие два требования:

1. Любому элементу x пространства ставится в соответствие или определяется норма .

2. Указанное правило введения нормы подчинено следующим аксиомам:

1⁰ || x || > 0, если x  0; || x || = 0, если x = 0

2⁰ || x || = |||| x ||.

3⁰ справедливо равенство || x + y ||  || x || + || y || называемое неравенством Минковского или неравенством треугольника.

Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить равенством . Первые две аксиомы непосредственно вытекают из аксиом скалярного произведения 3⁰ и 4⁰.

Справедливость неравенства Минковского докажем, опираясь на неравенство Коши – Буняковского:

11.4. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства.

В линейном пространстве, как мы установили в предыдущих лекциях, существует базис – это -- любые n линейно независимых векторов. Все базисы были одинаковы. В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортонормированными базисами. Введем определение ортонормированного базиса: будем говорить, что k элементов e₁, e₂, … e_n n – мерного евклидового пространства Е образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т.е. если

Теорема (метод ортогонализации Грама – Шмидта). Во всяком n – мерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.

Доказательство: согласно определению размерности в пространстве E найдется n линейно независимых векторов ₁, ₂, …, _n. Докажем, что можно построить n элементов e₁, e₂, … e_n, линейно выражающихся через ₁, ₂, …, _n и образующих ортонормированный базис.

Определим вектор e₁ как нормированный вектор _1, e₁^*=₁:

построим вектор e₂ так, чтобы он был ортогонален вектору e₁, определим его в виде:

.

Умножим это выражение скалярно на e₁ и получаем:

Вектор e₃ определим в виде:

Коэффициенты ₁ и ₂ найдем из условия ортогональности вектора е₃ к вектору е₁ и вектору е₂:

отсюда:

, где

Продолжая этот процесс n раз, получим для вектора e_n:

, где или

Т.о. мы доказали теорему, что во всяком пространстве Е существует ортонормированный базис. В процессе доказательства мы построили этот базис. Процесс построения называется ортогонализация или процесс ортогонализации.

В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений координат этих векторов – этим свойством мы уже пользовались в векторной алгебре:

(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ +… + x_ny_n

Действительно: