1.Введение.

Само название “алгебра” восходит к арабским учёным. В 825 году был написан учебник “Краткая книга об исчислении ал-Джабра”. “Ал-Джабра” в переводе означает перенос или восполнение. Автор учебника – выдающийся ученый Мухаммед бен Муса аль-Хорезми. (Кстати, слово «алгоритм» произошло от латинской формы имени аль-Хорезми). Этот термин и стал названием науки. По этой книге долгое время обучалась вся Европа. Прошли столетия и в настоящее время алгебра оформилась как наука, предметом которой являются операции, записанные в символической форме. Над чем осуществлялись операции? Над математическими моделями. Такими моделями в современной алгебре являются группы, кольца, поля, векторные пространства и т. д.

Предметом нашего изучения в курсе “линейной алгебры” являются матрицы, линейные пространства, системы линейных уравнений и др. Кроме того, мы в рамках “линейной алгебры” будем изучать геометрические объекты: вектора, уравнения линий и кривых на плоскости и в пространстве, поверхности 2^-го порядка. Сам термин “линейная” означает, что над объектами изучения вводятся, т.е. определены три операции: сложение и умножение объектов в пространстве и умножение объектов на скаляр. Для определения линии в пространстве достаточно этих операций. От линии и происходит термин “линейная”.

Математически этот метод сводится к решению большой системы уравнений с большим числом неизвестных. При составлении и решении этих систем уравнений интенсивно используется аппарат линейной алгебры как фундамент или основа для более сложных математических преобразований.

Одним из объектов изучаемых в курсе линейной алгебры является кольцо матриц. Тема первой лекции так и называется:

2. Матрицы. Линейные операции над ними. Произведение матриц.

Прежде чем начать изучение матриц, вспомним, что такое определитель. Рассмотрим простую задачу:

Решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

, выразим неизвестную x₂ из первого уравнения (*).

Её решение, как известно, выглядит:

(**)

Запишем систему трёх уравнений:

(***).

Преобразуем первые два уравнения так:

и решим по формулам (**):

.

Подставим в третье уравнение и решим его:

(****).

Аналогично можно записать решения для х₁ и х₂.

Числитель дроби (****) можно получить из знаменателя простой заменой членов на ! Т.е. при решении системы трёх уравнений всё определяется знаменателем. Запишем алгебраические члены, входящие в выражение в знаменателе как таблицу

Эту таблицу назовём матрицей системы уравнений (***), а выражение в знаменателе (****) - определителем этой матрицы.

Для числителя аналогичная таблица чисел выглядит

. Последний третий столбик таблицы выше заменили на столбик правых частей уравнений системы (***).

Обозначив определитель матрицы системы уравнений через , а числитель через ₃, получим для разыскиваемого х₃ простую формулу, называемую правилом Крамера, X₃ = ₃ / . Подобные формулы имеются и для произвольного неизвестного X_i = _i / . Здесь _i обозначаем формулы для таблицы чисел подобной  в которой столбец с номером i заменили на столбец правых частей системы (***).

Оказывается, эта формула верна для системы уравнений любого порядка.

Таким образом, для решения системы уравнений достаточно найти определитель матрицы этой системы и сделать некоторые преобразования с определителем.

Отвлечемся от систем уравнений и назовём матрицей вообще некоторую прямоугольную таблицу чисел. Причём число строк и столбцов может быть и неодинаковым! Запишем матрицу в общем виде:

Будем употреблять и сокращённую запись:

где i=1,... n; j=1,... m или вообще просто: A.

Числа n и m назовем порядками матрицы n  m (n строк на m столбцов). Например, матрица 2  2; 2  3 и т.п..

Для квадратных матриц вводится понятие главной диагонали. Она образована элементами с равными номерами строк и столбцов: а_{ii .}

Частные случаи: Матрица - столбец

Матрица - строка

Транспонирование матрицы состоит в перестановке ее строк и столбцов. Эта операция обозначается буквой Т

Очевидно, что транспонированная матрица-строка - это матрица-столбец и наоборот. Особую роль играют матрицы, которые при транспонировании не изменяются. Такие матрицы называются симметрическими.