3.4. Метод Гаусса.

Имеем систему:

Матрица этой системы . Для простоты будем предполагать коэффициенты этой системы ненулевыми и укажем основные идеи этого метода.

Исключим из этой системы х₁. Для этого умножим каждую строку на ( i = 2,3,…,n) и сложим с первой строкой:

или далее, умножаем строки i = 3,…,n на и т.д. Придём в итоге к системе:

Отсюда , из предпоследней строки находим значение для :

и т.д.

Первое преобразование называют прямым ходом, второе - обратным. Мы не будем останавливаться здесь на особенностях, которые могут встретиться в решении. Это - тема будущих лекций.

Пример:

4. Решение совместных систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим метод Гаусса (метод исключения неизвестных) применительно к совместным системам линейных алгебраических уравнений.

Запишем систему:

(*)

Назовём элементарными преобразованиями системы уравнений (*) следующие преобразования:

1. Умножение правой и левой части одного из уравнений на произвольное число .

2. Сложение одного уравнения, умноженного на некоторое , с другим уравнением.

3. Перестановка местами двух уравнений.

4. Вычеркивание уравнения 0=0.

Две системы уравнений полученных одна из другой некоторой последовательностью элементарных преобразований оказываются равносильными, т.е. они имеют либо одни и те же решения, либо обе эти системы одновременно не имеют решений.

Часто кроме этих преобразований рассматривают и еще одно:

5. Перестановка местами двух столбцов матрицы.

Это преобразование меняет множество решений системы. Однако легко заметить, что решения новой системы получаются из решений старой системы перестановкой значений соответствующих переменных. Поэтому если использовать и такие преобразования, то решения исходной системы будут получаться из вновь полученной некоторой перестановкой значений переменных. Такие перестановки несложно определить, если вести учет всех преобразований типа 5).

Запишем матрицу системы (*), добавив справа столбец свободных членов. Такую матрицу назовём расширенной матрицей системы линейных уравнений.

Очевидно, элементарным преобразованиям системы линейных уравнений отвечают элементарные преобразования матрицы D. Эти преобразования мы проделывали ранее, вычисляя ранг матрицы. Результатом таких преобразований для матрицы D будет некоторая треугольная ( ) матрица:

Последняя строка матрицы соответствует, очевидно, уравнению: ,

откуда .

Т.е., после приведения расширенной матрицы к виду , последнее неизвестное сразу находится. Тогда из предпоследнего уравнения найдётся х_n-1:

и т.д. система легко решается.

Приведение матрицы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных - обратным ходом. Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса:

Расширенная матрица: . Вычитаем из первой строки вторую

умножим первую строку на 2 и вычтем из 2^и и 3^и сложим вторую и третью

Из последнего уравнения х₃=-1.

Из второго уравнения х₂ -1=-7; х₂=-6.

Из первого уравнения х₁ -6=4; х₁=10.

Здесь мы обошлись только преобразованиями типа 1)-4).