2.3. Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами, т. е. транспонировать матрицу. Это можно доказать, расписав определители:

2. Перестановка двух строк или двух столбцов определителя равносильна его умножению на (-1). Для доказательства достаточно расписать определитель:

.

3. Если определитель имеет две равные строки или два равных столбца, то он равен 0. Это очень важное свойство. В самом деле, перестановка строк даёт: .

4. Умножение всех элементов некоторой строки на число равносильно умножению определителя на это число . Иными словами, общий множитель из некоторой строки можно выносить за знак определителя:

5. Отсюда вытекает, что если все элементы некоторой строки нулевые, то и сам определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк пропорциональны, то определитель равен 0.

7. Запишем это свойство только для первой строки:

. Подобное свойство выполняется для любой строки или столбца матрицы.

8. Если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженной на некоторый коэффициент , то величина не изменится!

9. Непосредственно из выражения для определителя следует, что его величина равна сумме произведений элементов некоторой строки или столбца матрицы на их алгебраические дополнения .

Кроме того, сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) на алгебраические дополнения другого столбца равна нулю.

Если ввести обозначение и назвать А_ij алгебраическим дополнением элемента а_ij , то последнее свойство (9) можно записать в виде равенства

,

где - символ Кронеккера:

. Таким образом, сумма справа в случае i=j равна определителю. А если номера строк i и j различны, то эта сумма равна нулю.

Замечание. Математически строго определитель матрицы есть такая функция от элементов квадратной матрицы, для которой выполняются свойства 1-9, указанные выше. Из этого определения выводятся все правила вычисления определителей.

3.Обратная матрица.

Пусть А - квадратная матрица. Матрица В называется обратной левой матрицей по отношению к матрице А, если

матрица С называется обратной правой по отношению к А, если

.

Убедимся, что если матрицы В и C существуют, то они совпадают между собой. Действительно, это следует из сочетательного свойства произведения:

Таким образом, правые и левые обратные матрицы совпадают с одной и той же матрицей. Ее называют просто обратной матрицей и обозначают А^-1.

Теорема. Для того, чтобы для матрицы А существовала обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы определитель detА матрицы А был отличен от нуля.

Необходимость: допустим матрица В существует. Тогда из соотношения АВ=Е следует: . Значит . Здесь мы использовали свойство определителей: определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц. Примем это без доказательства.

Достаточность. Пусть определитель detA= . Составим следующую матрицу В:

Здесь через обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов .Проверим, что эта матрица обратная к матрице A. Вычислим произведение:

. Обратим внимание, что

. Действительно,

сумма в числителе есть не что иное, как разложение определителя матрицы по первой строке, и значит, эта сумма = .

Кроме того,

. В самом деле

сумма в числителе является суммой произведений элементов второй строки матрицы А на алгебраические дополнения первой строки! Такое произведение равно нулю!

И т.д. В итоге, только на главной диагонали останутся ненулевые члены - они равны единице. Теорема доказана.

Эта теорема даёт нам правило нахождения обратной матрицы. Надо составить вспомогательную матрицу, образованную алгебраическими дополнениями, транспонировать её и умножить на число .

Отметим очевидные следствия из определения обратной матрицы:

Действительно:

т.е. матрица АВ - обратная для матрицы В^-1А^-1.