4.1. Системы линейных уравнений.
Рассмотрим в общем случае решение систем линейных уравнений. Дадим несколько определений.
1). Системой m уравнений с n неизвестными называется система вида:
(**)
2). Если в системе (**) все bк (k=1,...m) равны нулю, то такая система называется однородной.
3).
Если хотя бы один из них bк
0,
то система называется неоднородной.
4). Система (**) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной.
5). Совместная система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой - если решений больше.
Итак, начнём с помощью элементарных преобразований 1)-5) сводить расширенную матрицу системы уравнений (**) к треугольному виду. Прежде всего, здесь количество уравнений не равно количеству неизвестных. Значит, матрица прямоугольная и вообще говоря, к треугольной матрице не сводится. В общем случае ее можно будет привести к ступенчатому виду.
Второй момент: Вспомним о ранге матрицы. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в ступенчатой матрице, которая получится из исходной матрицы элементарными преобразованиями. При этом некоторые строки преобразованной матрицы могут оказаться нулевыми. В итоге, после учёта этих моментов, можно записать самый общий вид преобразованной матрицы, который только может встретиться:
(***)
или, условно нарисуем:
Обратим
внимание на коэффициент
.
Может случиться, что это будет 0. И тогда
уравнение с этим коэффициентом не
определяет ограничений на значения
неизвестных. А вот если этот коэффициент
ненулевой, тогда
,
что невозможно ни при каких значениях
переменных. Значит, система решений не
имеет, т.е. система несовместна. Поэтому
на практике, сразу же после появления
соотношения вида
можно говорить, что система не имеет
решения.
Если
,
то, покажем, что система имеет решение.
Поскольку
,
то из последнего уравнения можно найти
или
[
]
Из предыдущего уравнения можно найти
[
]
и т.д. В итоге:
(****)
из этих соотношений следует, что неизвестные xr+1,...,xn могут принимать произвольные значения. Эти неизвестные называются свободными, а x1,...xr – называются основными, базисными или главными. Любая совокупность свободных неизвестных и выражения соответствующих им основных переменных определяют решения системы. Таким образом, мы доказали теорему:
Теорема Кронеккера-Капелли: для того, чтобы система уравнений (**) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы были равны.
Предположим мы выяснили, что система уравнений совместна. Тогда возможны два случая:
1)
ранг матрицы равен количеству неизвестных
r=n.
Это возможно, кстати, только при m
n.
В этом случае все неизвестные главные
и из выражения (****) они оказываются
равными некоторым однозначно определенным
числам:
Это означает, что система имеет единственное решение. Система определённая.
2) r<n. В этом случае имеются свободные неизвестные, которые можно задавать произвольно. Значит, система имеет бесконечное множество решений, т.е. система неопределённая!
Пример:
1
)
0 = -3 !!!
Система несовместна, решений нет!
2)
Система совместна. Положим x3=c1, x4=c2 , тогда:
Бесконечное множество решений.