2.1.Операции над матрицами.
Матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.
а).
Сложение
матриц.
Суммой двух матриц
и
одинаковых порядков называют матрицу
,
элементы которой вычисляются по формуле
Будем в этом случае записывать С=А+В
Непосредственно из определения вытекает :
перестановочное свойство А+В=В+А
и
сочетательное свойство (А+В)+С=А+(В+С).
б).
Умножение матрицы
на число. Матрица
умножается на число
,
получается матрица
- (каждый член умножается на
).
Отсюда непосредственно следует:
сочетательный
закон:
распределительный
закон относительно суммы чисел:
в).
Произведение
матриц:
произведением двух матриц
и
называют матрицу
,
элементы которой
вычисляются по формуле:
.
Отметим, что не всякие матрицы A и B можно перемножить. Произведение AB определено только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
В частности, умножение матрицы-строки на матрицу-столбец определено только если количество членов в строке (n) равно количеству членов в столбце (n). Результатом такого умножения является одноэлементная матрица из одного числа.
n
x
В n
= С11
.
А
Всегда определено умножение столбца на строку:
n
m
x
= m
m
n
Произведение
двух матриц не обладает перестановочным
свойством, т.е. может оказаться, что
.
К примеру:
.
Однако выполняется сочетательное
свойство произведения: (AB)C=A(BC).
Введём важное понятие диагональной матрицы
и её частный случай - единичную матрицу:
.
Легко проверить, что для любой квадратной матрицы А справедливо :
.
Познакомившись с умножением матриц, можно нашу систему уравнений (***) записать компактно в матричном виде. Введём обозначения. Матрицу системы уравнений, представляющую таблицу из коэффициентов при неизвестных, обозначим А:
.
Для неизвестных введём обозначения матрицы-столбца Х
и
для правых частей -
.
Тогда можно записать:
или
2.2.Определители.
Мы
уже ввели понятие определителя для
матрицы 3-го
порядка. Подобной формулой определяется
определитель любого порядка. Однако
вычислять определитель порядка n, где
,
проще с помощью следующего понятия.
Введём
понятие минора. Минором любого элемента
матрицы n-ого
порядка называется определитель порядка
n-1, соответствующий матрице, полученной
из исходной матрицы вычёркиванием i-той
строки и j-того
столбца. Обозначим минор символом
(Лучше обозначить просто Мij)
К примеру, у матрицы четвёртого порядка можно выделить 16 миноров:
Выполняется следующая формула, которую мы доказывать не будем:
Теорема 1. Каков бы ни был номер строки i (i=1,...n); для определителя
n-ого порядка справедлива формула:
Эта формула называется формулой разложения определителя по i-той строке.
Подчеркнём, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится (-1) равен сумме номеров строки i и столбца j. Таким образом, эта степень равна +1 или -1 в зависимости от чётности или нечётности суммы. Соответственно слагаемые в этой сумме могут входить в неё как со знаком (+) так и со знаком (-).
Пример: разложим определитель по 2-й строке
.Кстати,
проще было бы разложить определитель
по третьей строке:
.
К этому же результату можно прийти, воспользовавшись знаменателем формулы (****) для вычисления х3. Это выражение определителя иногда называют формулой “треугольника”: