11.Евклидовы пространства.

11.1.Основные определения.

Из курса аналитической геометрии нам знакомо понятие скалярного произведения векторов. На прошлой лекции мы ввели понятие линейного пространства. Введем теперь в рассмотрение линейное пространство, для элементов которого каким либо способом определено правило, ставящее в соответствие двум элементам число, называемое скалярным произведением. Такие пространства называются евклидовыми линейными пространствами.

Определение евклидового пространства. Линейное пространство R над полем вещественных чисел называется евклидовым пространством, если выполнены два требования:

1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства x и y ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначается символом (x, y).

2. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

1⁰ (x, y) = (y, x) – переместительное свойство (или симметрия).

2⁰ (x₁ + x₂, y) = (x₁, y) + (x₂, y) (распределительное свойство).

3⁰ ( x, y) =  (x, y) (для любого вещественного ).

4⁰ (x, x) > 0, если x  0 и (x, x) = 0, если x = 0.

Пример 1. Рассмотрим пространство V₃ всех свободных векторов. Скалярное произведение определим, как это сделано было в аналитической геометрии. Все аксиомы 1⁰ - 4⁰ при введенном нами ранее определении скалярного произведения

будут выполняться. Стало быть, линейное пространство V₃ со скалярным произведениям – евклидово пространство.

Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное пространство C[a, b] всех функций a  t  b. Скалярное произведение определим как интеграл от этих функций в пределах от a до b:

Можно проверить справедливость аксиом 1⁰ - 4⁰. Т.е. это бесконечно- мерное евклидово пространство.

Пример 3. Рассмотрим линейное пространство Aⁿ упорядоченных совокупностей n вещественных чисел - пространство координат элементов. Положим

x = ( x₁ x₂ x₃ … x_n )

y = ( y₁ y₂ y₃ … y_n )

тогда введением скалярного произведения в виде

(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + …+ x_n y_n

можно получить, как нетрудно убедиться, евклидово пространство. Определим более общее скалярное произведение.

Пример 4. Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

(*)

С помощью этой матрицы составим однородный многочлен второго порядка относительно переменных x₁, x₂, …, x_n

Такой многочлен называется квадратичной формой, порождаемой квадратной матрицей А (*). Квадратичная форма называется положительно определенной, если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных, одновременно не равных нулю и равна нулю лишь при условии, что x₁ = x₂ = … = x_n = 0. Потребуем, чтобы матрица А удовлетворяла двум условиям:

1⁰ порождала положительно определенную квадратичную форму

2⁰ была симметричной относительно числовой диагонали, т.е. a_ik = a_ki для всех i = 1, 2, …, n ; k = 1, 2, …, n. С помощью матрицы, удовлетворяющей двум этим условиям, определим скалярное произведение двух элементов пространства Aⁿ

(**)

Посмотрим на аксиомы 2⁰ и 3⁰ . Они, очевидно, удовлетворяются при совершенной произвольной матрице A. Справедливость 1⁰ вытекает из симметричности матрицы, а 4⁰ – квадратичная форма матрицы А – положительно определенная. Т.о. пространство Aⁿ со скалярным произведением, определяемым равенством (**) при условиях 1⁰ и 2⁰ , налагаемых на матрицу А, является евклидовым пространством. Если в качестве матрицы А взять единичную матрицу, то мы получим евклидово пространство, рассмотренное в примере 3, обозначаемое как Еⁿ.