Конспект лекций по линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии и комплексным числам к.Н.Пономарёв и.А.Сажин

Из-во НГТУ, 2008

1.Введение. 3

2. Матрицы. Линейные операции над ними. Произведение матриц. 4

2.1.Операции над матрицами. 6

2.2.Определители. 8

2.3. Свойства определителей. 9

3.Обратная матрица. 11

3.1. Решение систем линейных уравнений 12

с помощью обратной матрицы. 12

3.2. Понятие линейной зависимости строк. 13

3.3. Ранг матрицы. 14

3.4. Метод Гаусса. 16

4. Решение совместных систем линейных алгебраических уравнений. 17

4.1. Системы линейных уравнений. 19

4.2.Однородная система линейных 22

алгебраических уравнений. 22

5.Векторы. 24

5.1. Понятие вектора. 24

5.2. Линейные операции с векторами. 25

5.3. Базис. 30

5.4. Скалярное произведение векторов. 32

5.5. Векторное и смешанное произведения векторов. 34

6.Аналитическая геометрия. 38

6.1. Уравнение линии на плоскости. 38

6.2.Полярная система координат. 39

6.3. Уравнение прямой на плоскости. 40

6.3.1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. 42

6.3.2. Нормированное уравнение прямой линии. 44

6.3.3.Уравнение прямой линии в полярных координатах. 45

7.Линии второго порядка. 45

7.1.Каноническое уравнение эллипса. 46

7.2. Каноническое уравнение гиперболы. 47

7.3.Каноническое уравнение параболы. 48

8. Плоскость. Различные способы задания плоскости. 52

9. Прямая линия в пространстве. 54

10.Линейные пространства. 58

10.1.Введение. Основные определения. 58

10.2.Размерность и базис линейного пространства. 62

10.2.1. Размерность линейного пространства. 63

10.2.2.Базис линейного пространства. 64

10.2.3.Действия над векторами в координатной форме. 64

10.2.4. Замена базиса. 66

11.Евклидовы пространства. 68

11.1.Основные определения. 68

11.2.Неравенство Коши-Буняковского. 71

11.3. Норма вектора. Нормированное пространство. 71

11.4. Ортонормированный базис конечномерного 73

евклидова пространства. 73

11.5.Ортогональные матрицы и их свойства. 75

12.Линейные операторы. 77

12.1. Действия над линейными операторами. 78

12.2. Матрица линейного оператора. 79

12.3. Изменение матрицы линейного оператора 81

при переходе от одного базиса к другому. 81

12.4.Собственные числа и собственные векторы 81

линейного преобразования. 81

13.Линейные операторы в евклидовом пространстве. 85

13.1. Примеры линейных операторов. 87

14.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. 91

15. Комплексные числа. 97

15.1. Алгебраические операции над комплексными числами. 97

15.2. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексных чисел. 101