16. Нахождение асимптоты функции.

Аси́мпто́та (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность^[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед

Порядок нахождения асимптот

1. Нахождение вертикальных асимптот.

2. Нахождение двух пределов 

3. Нахождение двух пределов  :

если   в п. 2.), то  , и предел   ищется по формуле горизонтальной асимптоты,  .

Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция  .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

.

При    ,    ,   то есть:

,

и   является искомым уравнением асимптоты.

17. Производная и дифференциал.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс —интегрирование.

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции. (Δ_xf(Δx) = f(x + Δx) − f(x).); малое изменение величины в математическом выражении вследствие такого же незначительного изменения переменной

Для функции:

Дифференциал функции   в точке   может быть определён как линейная функция

где f'(x₀) обозначает производную f в точке x₀.

Таким образом df есть функция двух аргументов  .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция   линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение

18. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

http://termech.mpei.ac.ru/kir/PDF/Lecmatem7.html

у меня не получается скопировать…ворд съезжает…..сволочь

Остальные сайты на нобелевскую премию идут))) и ставят одни формулы

19. Выпуклость функции.

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством

Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некотороговекторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента x, y и для любого числа   выполняется неравенство Йенсена:

Если это неравенство является строгим для всех  , функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

NB! Иногда выпуклая функция определяется как вогнутая и наоборот

Свойства(нужно тебе или нет, не знаю, но выглядят эти свойства очень умно)))

• Функция f, выпуклая на интервале  , непрерывна на всём  , дифференцируема на всём   за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти везде.

• Непрерывная функция f выпукла на   тогда и только тогда, когда для всех точек   выполняется неравенство

• Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.

• Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция f(x) =x⁴ строго выпукла на [ − 1,1], но её вторая производная в точке x = 0 равна нулю).

• Если функции f, g выпуклы, то любая их линейная комбинация af + bg с положительными коэффициентами a, b также выпукла.

• Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).

• Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.

• Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:

     где X — случайная величина со значениями в области определения функции f, E — математическое ожидание.