4.3.2. Основные законы распределения.

Использование вероятного подхода к оценке погрешностей результатов измерения Х предполагает знание аналитической модели закона распределения f(х). В метрологии мы встречаемся с достаточно большим разнообразием видов f(х). Вместе с тем, практика рядового эксперимента показывает, что реально основных видов функций f(х), с которыми приходится сталкиваться экспериментатору, всего несколько: это, прежде всего, нормальный закон распределения, закон распределения Стьюдента, равномерный закон и некоторые другие.

Нормальный (Гауссовый) закон распределения.

Если ошибки, содержащиеся в результатах измерений, обусловлены большим числом взаимно независимых событий, то было показано (центральная предельная теорема теории вероятностей), что они распределены по закону, названному нормальным или Гауссовым. Это не значит, что другие законы ненормальные (!), просто не всегда термины и названия адекватно отражают суть явления.

Плотность вероятности нормального распределения:

(3.13)

где:

m₁ – математическое ожидание ;  - среднеквадратическое отклонение.

Если ввести новую переменную: , то мы переходим к нормированному нормальному распределению, у которого математическое ожидание равно 0, а среднеквадратическое отклонение – 1.

(3.14)

Эту функцию иногда обозначают в виде: n (z;0,1).

Интегралы вида могут быть определены только численными методами.

Значение интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения сведены в таблицы, которые легко найти в соответствующей литературе [10].

Определенный интеграл с переменным верхним пределом:

Ф (3.15) называется функцией Лапласа.

Рис. 3.13

Свойства функции:

• Ф(о) = о; Ф( ) = ; Ф(- ) = - ; Ф(-t)= -Ф(t)- функция нечетная

F(t₁) = 0,5 + Ф(t₁); P{х₁<х<х₂} = Ф( - Ф( = Ф(t₂) – Ф(t₁)

Вероятности того, что результат измерения х, имеющий нормальное распределение, лежит в границах: , равны соответственно 0,683, 0,954 и 0,9974.

Последнее событие ( ) в практике большинства измерений считается практически достоверным. Это означает, что только в ~0,28% случаев ошибка может превысить этот интервал.

Закон равномерной плотности распределения вероятностей.

Равномерное распределение описывается функцией:

Математическое ожидание:

Среднеквадратическое отклонение:

;

В практике измерений, особенно с переходом на дискретные (цифровые) сигналы и цифровые методы измерения, экспериментаторы все чаще имеют дело с ошибками, которые ограничены некоторыми пределами х₁ – х₂, внутри которых их появление равновероятно (например, погрешность дискретности). – рис. 3.14

Рис. 3.14

4.3.3. Точечные оценки параметров законов распределения.

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Задача нахождения точечных оценок – частный случай статистической задачи нахождения оценок параметров функций распределения случайной величины на основании выборки. В отличии от самих параметров их точечные оценки являются случайными величинами.

Естественным желанием является нахождение наилучших оценок.

Обозначим:

- параметр , - оценка параметра.

Наилучшие оценки должны удовлетворять трем условиям:

1. Состоятельность – при увеличении объема выборки n оценка стремится по вероятности к параметру: при n

2. Несмещенность – математическое ожидание оценки равно параметру: М[ ] =

3. Эффективность – оценка имеет наименьшую дисперсию: D[ ] = min

Ранее было показано, что в большинстве случаев экспериментатора интересуют два параметра: математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и дисперсия (ошибка).

В математической статистике доказано, что лучшей точечной оценкой МО является среднее арифметическое значение изменяемой величины: = (3.16)

1. – состоятельная оценка:

(закон больших чисел)

2. - несмещенная оценка:

3. Условие эффективности:

(3.17)

по критерию наименьших квадратов это наиболее эффективная оценка.

Важный практический вывод

П ри увеличении числа измерений n погрешность среднего арифметического уменьшается: это путь уменьшения случайной ошибки измерения.

Второй интересующий нас параметр – среднеквадратическое отклонение (СКО) случайной величины.

Дисперсия дискретной случайности величины определяется из выражения:

(3.18)

Естественно принять в качестве оценки дисперсии величину:

1. Состоятельность оценки:

; (следует из 3.18).

2. Несмещенность оценки

Поскольку случайные величины – независимы:

Получаем: =

M   =

Таким образом, является смещенной оценкой. Чтобы получить несмещенную оценку, нужно полученный результат умножить на :

S² = =

Таким образом, несмещенная оценка дисперсии:

S² = ; S= (3.19)

Эта оценка не является строго эффективной – но она с увеличением n стремится к эффективной оценке (асимптотически эффективная оценка).