1. Статистический метод

В результате любого однократного измерения, погрешность измерения равна:

Х – Х_д = _сл+_сист (3.10)

Где: _сл – случайная погрешность; _сист – систематическая погрешность.

Х_д – действительное значение измеряемой величины (полученное с помощью образцового, более точного прибора).

В результате однократного измерения общая ошибка содержит обе составляющие ошибки и разделить их невозможно.

Если произвести многократные измерения при неизменных условиях, а затем вычислить среднее значение (см. раздел 3.3), то получаем

(3.11)

При n  , поэтому

В этом случае в усредненном по многим опытам результате остается фактически только систематическая погрешность.

Таким образом, проведя многократные измерения, на практике можно выявить наличие большой систематической ошибки (например, «сдвиг» шкалы генератора и т.п.).

2. Метод замещения – осуществляется заменой измеряемой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех СИ не происходит никаких изменений (это фактически метод сравнения).

3. Метод противопоставления – измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдения.

Пример: Измерение сопротивления с помощью одинарного моста методом противопоставления.

Рис. 4.9

Перемножая результаты, мы получим:

4. Метод компенсации погрешности по знаку – предусматривает измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разным знаком.

Пример: Измерить ЭДС потенциометром постоянного тока, имеющим паразитную термоЭДС. В потенциометре шкала переменного резистора R_н проградуирована в единицах ЭДС (вольт)

а) Схема 1-го измерения:

Е_т – паразитная термо-ЭДС

Г – гальванометр

А – амперметр

Е_о – образцовая ЭДС

Результат измерения: (I_х =0): Е₁= Е_х +Е_т

б) Схема 2-го измерения: изменяем полярность включения Е_х и Е_о

Рис. 4.10

Результат измерения: (I_х =0): Е₂= Е_х -Е_т

Окончательный результат:

Таким образом, систематическая погрешность (Е_т) устранена.

4.3. Случайные погрешности.

4.3.1. Общие понятия.

Случайными являются такие ошибки, которые меняются непредсказуемо от одного измерения к другому при определении одной и той же физической величины с помощью одной и той же аппаратуры при неизменных условиях. Обычно они бывают обусловлены большим числом факторов, которые влияют на результат измерения независимо. Все, о чем мы можем говорить, имея дело со случайными ошибками, это вероятность того, что ошибка будет той или иной величины. К счастью, теория вероятностей и математическая статистика дают нам возможность делать определенные утверждения при наличии случайных ошибок.

Вероятностное описание случайных погрешностей.

Наиболее универсальным способом описания случайных величин является нахождение их интегральных и дифференциальных функций распределения.

Интегральной функции распределения F(х) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайна я величина х_i в i-том опыте принимает значение, меньшее х (рис.11а).

(3.12)

Свойства F(х):

• Неотрицательная: F(x)0

• Неубывающая: F(х₂)>F(х₁) при х₂>х₁

• Изменяется от 0 до 1

F(-∞)=0; F(∞)=1

• Вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от х₁ до х₂

Более наглядным является описание свойств результатов измерения и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения или плотности распределения вероятностей

f(х)=dF(x)/dx (рис. 3.11б)

Рис. 4.11

Эта функция неотрицательна и подчиняется условию нормирования:

Вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал равна площади, заключенной под кривой f(х) и соответствующих значений абсцисс х_i, например:

(площадь А, рис.3.11б)

(площадь В, рис.3.11б)

(площадь С, рис.3.11б)

Числовые параметры законов распределения.

Функции распределения являются самым универсальным способом анализа случайных погрешностей. Однако для их определения необходимо проведение весьма длительных и кропотливых исследований и вычислений.

На практике экспериментатору зачастую достаточно знания некоторых параметров распределения. Это в первую очередь:

• Математическое ожидание (первый начальный момент)

• Среднеквадратическое отклонение (второй центральный момент)

М[х] = m₁ = - математическое ожидание (первый начальный момент).

При измерениях математическое ожидание можно трактовать (при отсутствии систематических погрешностей) как истинное значение измеряемой величины.

Второй центральный момент называется дисперсией.

Д[х]= ₂ = - характеристика меры рассеивания х.

Чаще в качестве меры рассеивания используется среднеквадратическое отклонение - :

Зная смысл этих двух параметров и их выражения, можно вернуться к определению понятий систематических и случайных ошибок.

П

-

систематическая ошибка

-

случайная ошибка

ри измерениях неизвестной величины всегда в результате имеются систематическая и случайная ошибки:

Х_и – истинное значение ФВ.

Рис. 3.1