Случай поглощающей среды

Рассмотрим сначала случай, когда среда только поглощает лучистую энергию, не излучая. На практике это случай холодного газа около нагретого тела. К нему относится следующий закон.

Закон Бугера. На элементарной длине пути в направлении излучения интенсивность излучения изменится на величину

,

где , 1/м – спектральный коэффициент поглощения лучистой энергии газом.

Значение зависит от природы газа, его температуры и плотности, и, конечно, сильно зависит от длины волны (вне полос поглощения ).

Обратную величину можно условно считать средней длиной свободного пробега фотонов в газе до момента поглощения. Ясно, что с ростом плотности газа (и, соответственно, давления ) длина пробега уменьшается, а растёт.

При , интегрируя это соотношение, легко получить иную форму закона Бугера

.

То есть прошедшее через слой газа толщиной излучение ослабляется в раз:

.

Безразмерная величина

(–*)

называется спектральной оптической толщиной газового слоя – это отношение толщины слоя к средней длине пробега фотонов .

Случай поглощающей и излучающей среды.

В общем случае газ не только поглощает, но и испускает лучистую энергию. Уравнение переноса лучистой энергии в газе при этом имеет вид

, (*)

где – спектральный коэффициент излучения газа, характеризующий интенсивность его собственного излучения. Значение для газа одинаково для всех направлений и зависит от его физических свойств (природы и плотности), температуры, а также, конечно, от длины волны .

Остаётся научиться определять величину . Для этого применим приём Кирхгофа. Рассмотрим газ с данной температурой во всём объёме около абсолютно черной стенки, расположенной по нормали к рассматриваемому направлению . Температура стенки такая же, то есть в системе газ–стенка имеет место тепловое равновесие, и каждый элемент газа поглощает столько энергии, сколько излучает, то есть , откуда по (*)

. (*₀)

Интенсивность излучения непосредственно вблизи абсолютно чёрной стенки определяется излучением стенки и в нормальном направлении равна угловой плотности потока излучения стенки: . В соответствии с законом Ламберта (Л14) для нашего случая

, (**)

где величина определена законом Планка. А так как здесь , то есть величина не меняется, то на любом расстоянии от стенки в направлении будет , то есть (*₀) для всего объёма примет вид

. (***)

где из (**).

Здесь может показаться, что наши рассуждения справедливы лишь для направления, нормального к стенке, хотя, с другой стороны, стенка вводится уже после выбора произвольного направления. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что спектральная интенсивность диффузного излучения от поверхности не зависит от направления.

Диффузное излучение – распределённое по закону Ламберта, в котором речь идет об угловой плотности потока излучения, отнесённой к площадке излучающей поверхности : (формулировка для спектральных величин). Нас же здесь интересует величина интенсивности излучения , отнесённой к нормальной площадке (рис. …). Ясно, что нормальное к рассматриваемой площадке излучение испускается площадкой поверхности, такой, что , поэтому . Так как по закону Ламберта , то и не зависит от .

В частности, интенсивность излучения, испускаемого абсолютно черной поверхностью, одинакова по всем направлениям

, (**₀)

где величина определена законом Планка. И абсолютно чёрная стенка может располагаться с произвольным наклоном относительно рассматриваемого направления и площадки , всё равно (***) будет справедливо.

Считая далее собственное излучение элементарного объёма газа независящим от внешнего, проходящего через него излучения, то есть что (***) выполняется не только при общем тепловом равновесии, уравнение переноса лучистой энергии в газе (*) записываем в виде

, (IV)

где по (**) .

При , это уравнение можно проинтегрировать по пути луча и получить распределение по этому пути:

,

или, переходя от размерной длины пути к безразмерной (оптической толщине) по (–*) , получаем . Постоянная интегрирования определяется из условия при ( – значение интенсивности в начале пути луча по газу): . Тогда

. (V)

То есть, согласно уравнению переноса лучистой энергии в форме (V), интенсивность излучения по мере прохождения по газу приближается к (рис. …), причем различие уменьшается по экспоненте – например, в 10 раз на расстоянии (то есть при оптической толщине слоя , равной 2,3). Напомним, что – интенсивность излучения, создаваемая абсолютно черной поверхностью.

Рис. …

Таким образом, если излучение проходит по газу большое расстояние, то собственное излучение газа и поглощение им проходящего излучения уравновешиваются таким образом, что устанавливается интенсивность излучения, соответствующая излучению абсолютно черной поверхности. Эта ситуация в определённом смысле аналогична ситуации с результирующим излучением, имеющим место, например, между двумя стенками при их одинаковой температуре . Как легко получить из формул для и , полученным при выводе (Р1), в этом случае будет . То есть в этом случае в пространстве между двумя реальными стенками (не абсолютно чёрными!) будет такое же результирующее излучение, как при абсолютно чёрных стенках, за счёт уравновешивания величин поглощения и собственного излучения стенок.

Иначе уравнение (V) можно представить в виде

. (VI)

Здесь видно, что в начале пути, при , интенсивность равна начальной , а по мере прохождения по газу приближается к .

69