Предельные случаи

Рассмотрим свойства решения (Р4), (Р5).

а) При и/или по (Р5) , то есть за счёт низкой степени черноты хотя бы одной из поверхностей радиационный теплообмен, как и при плоских стенках, может быть сколь угодно малым ( ).

б) При будет ; в частности, если обе стенки абсолютно чёрные ( , ), будет . Но при уже не будет .

в) В случае, когда зазор между телами оказывается относительно тонким, то есть , (Р5) переходит в (Р3), и, соответственно, (Р4) – в (Р2F), то есть в формулы для плоских стенок. Это естественно, так как если толщина зазора много меньше радиуса кривизны, то поверхности можно считать близкими к плоским.

г) Если размеры внутреннего тела оказываются много меньше размеров полости, то есть если , то по (Р5) , как при абсолютно чёрном внешнем теле ( , случай б). Действительно, при этом излучение тела после падения на и отражения уже не попадает снова на тело из-за его малых размеров и, в конце концов, полностью поглощается телом , как если бы оно было абсолютно чёрным.

Одиночное тело

Можно добавить, что предельные случаи решений для круговых и произвольных выпуклых тел совпадают, то есть эти выводы для произвольных тел являются не приближёнными, а точными. Поэтому следствием пункта г) является формула для лучистого теплообмена одиночного выпуклого серого тела с температурой , в большом помещении с температурой стен (обстановки)

, (Р6)

где – степень черноты тела, – площадь его поверхности.

Для вывода сначала рассмотрим такую же вспомогательную систему, но при температуре внутреннего тела . Так как система замкнута и имеет единую температуру , то по второму закону термодинамики она находится в тепловом равновесии, и каждый элемент поверхности тела поглощает столько же падающей на него энергии, сколько излучает. Это означает, что на элемент падает тепловой поток с плотностью , Вт/м², равной поверхностной плотности потока излучения ачт:

, (1о)

где определено (Л10а).

Действительно, если мысленно заменить поверхность элемента абсолютно черной, то для неё равенство очевидно. Но не должно зависеть от свойств (тело выпуклое, элемент мал), то есть (1о) верно и для исходного элемента. (Равенство (1о) выражает закон Кирхгофа для этих условий).

Условие. Формула (Р6) справедлива, если тело настолько меньше включающего его объёма, что изменение его температуры с до заметно не изменит падающее на него излучение.

Пояснение – при этом на тело будет падать прежнее излучение внешних стенок с неизменной температурой , а отражённое от них собственное излучение тела (которое и изменяется) всё равно практически не возвращается к малому телу.

В этих условиях на тело падает по (1о), (Л10а) излучение с плотностью , из него поглощается (по определению ) . Излучается телом по (Л10b) . Баланс лучистого теплообмена составит , Вт/м², или для всей поверхности тела , Вт. Заметим, что пока все рассуждения проводились для произвольного (не обязательно серого) тела. Если считать тело серым, то есть по (Л11) , получаем искомое (Р6).