Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4603 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Запорожский национальный технический университет
Предмет:
Высшая математика
Файл:

Матан 1 и 2 курс-20191213T204734Z-001 / ryaba_fnp_ / ryaba_fnp / Ряба_ФНП_5

.pdf
Скачиваний:
33
Добавлен:
13.12.2019
Размер:
66.29 Кб
Скачать
☆
cos

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

ИДЗ-10.1

1.5. Найти область определения указанной функции.

z

2

6 x2 y2

Решение: Область определения: 6 x2 y2 0 x2 y2 6 2

Ответ: Область определения: все точки координатной плоскости XOY кроме

окружности x2 y2

 

 

2 (с центром в начале координат радиуса

 

).

6

6

2. Найти частные производные и частные дифференциалы данной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. z sin

y

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

Найдем частные производные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

 

z

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

 

z

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

y

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

2 y

 

2

 

x3 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частные дифференциалы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

y

x

 

2

x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x3

dzx

3

y

 

 

 

y

 

dzy

 

1

 

 

 

y

 

2

 

 

cos

 

dx ,

 

 

 

 

cos

 

dy

x5

 

x3

 

 

 

 

x3

 

2

 

x3 y

3. Вычислить значения частных производных fx M0 , fy M0 , fz M0 для данной

функции f (x, y, z)

в точке M0 x0 , y0 , z0 с точностью до двух знаков после запятой.

3.5. f (x, y, z)

 

 

 

 

x

 

 

 

,

M0 1,0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x /x

 

 

1

 

 

 

fx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

y

z

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fx M0

 

fx 1,0,1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

1

/

 

 

 

1

 

 

2

 

 

2

3

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

fy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

z

 

 

2

 

 

 

x

y

 

z

 

 

 

2

y

 

z

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2y

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 z2 3

 

 

y2 z2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fy M0 fy 1,0,1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

1

/

 

 

 

 

1

 

2

 

2

 

 

3

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

fz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

z

 

 

 

2

 

 

 

x

 

y

 

 

z

 

 

 

2 y

 

 

z

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2z

 

 

 

 

 

 

 

xz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 z2 3

 

 

y2 z2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fz M0 fz 1,0,1 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Найти полные дифференциалы указанных функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.5. z 5xy4

2x2 y7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим частные производные первого порядка:

 

 

 

2x 5y

 

4xy

 

 

zx 5xy

4

2x

2

y

7

x

5y

4

 

x x 2y

7

x

2

x 5y

4

1 2y

7

 

4

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

2 y7

 

5x 4y3 2x2 7 y6 20xy3 14x2 y6

zy 5xy4 2x2 y7 y

5x y4 y

 

y

Полный дифференциал:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz zxdx zydy 5y4 4xy7 dx 20xy3 14x2 y6 dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Вычислить значение производной сложной функции

u u(x, y) , где

x x(t) ,

y y(t) , при t t0

с точностью до двух знаков после запятой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.5. u x2ey ,

x cost ,

 

 

y sin t , t0

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем производную сложной функции: ut ux

xt uy

yt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В данном случае:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ey x2

 

 

2xey

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ux x2ey x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2ey

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uy x2ey y

x2 ey y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xt sin t , yt cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ut 2xey

( sin t) x2ey cost 2cost esin t ( sin t) cos2 t esin t cost

 

 

ut 2 e0 0 e0 0 1 1

6. Вычислить значения частных производных функции z(x, y) , заданной неявно, в данной точке M0 x0 , y0 , z0 с точностью до двух знаков после запятой.

6.5. x2 y2 z2 z 4 0 , M0 1,1, 1

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

x2 y2 z2

 

 

 

 

 

z 4 x 0

 

 

2x 0 2zzx zx 0 0

 

 

2z 1 zx 2x

 

 

 

 

zx

 

2x

 

 

 

 

 

 

2z 1

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

zx

M0 zx 1,1, 1

 

0,67

 

 

 

 

 

3

 

3

 

x2 y2 z2

 

 

0

 

 

z 4 y

 

 

0 2 y 2zzy zy 0 0

 

 

2z 1 zy 2y

 

 

 

 

zy

 

2y

 

 

 

 

 

 

2z 1

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

zy

M0 zy 1,1, 1

 

0,67

 

 

 

 

 

3

 

3

 

ИДЗ 10-2.

 

 

 

 

 

3. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u .

3.5. x

u y

u

2u , u

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем частные производные функции u .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y x

 

 

 

 

y

2

 

 

 

u

 

 

 

y

(x)x (x y) x(x

y)x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x y)

2

 

 

 

 

 

(x y)

2

 

 

 

(x y)

 

 

x y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

xy

 

/

 

( y)y (x y) y(x y)y

 

 

x y y

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x y)

 

 

 

 

 

(x

y)

 

 

 

 

(x y)

 

x y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим ux ,uy ,

в левую часть уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y2

 

y

 

x2

 

 

xy2 yx2

 

xy( y x)

 

 

xy

 

 

u

 

 

 

 

(x y)2

(x

y)2

 

(x y)2

(x y)2

 

 

(x y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В правой части исходного уравнения находится 2u

Таким образом, данная функция не удовлетворяет данному уравнению. 4. Исследовать на экстремум функцию.

z x3 y2 6xy 39x 18y 20

Решение: Найдем критические точки:

zx 3x2 6 y 39 0 y 3x 9 – подставим в первое уравнение:

z 2 y 6x 18 0

y

x2 2(3x 9) 13 0

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

x2 6x 5 0

(x 1)(x 5) 0

x1 1 y1 3 9 6 x2 5 y1 15 9 6

M1 1; 6 , M2 5;6 – стационарные точки.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума: zxx 6x , zxy 6 const , zyy 2 const

1) M1 1; 6

zxx M1 zxx 1; 6 6 zxy M1 6

zyy M1 2

zxx M1 zyy M1 zxy M1 2 6 2 ( 6)2 12 36 24 0 , значит, в точке M1 1; 6 нет экстремума

2) M2 5;6

 

 

 

 

 

 

 

 

zxx M2

zxx 5;6 30

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

zxy M2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

zyy M2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

30 2 ( 6)

2

 

60 36 24 0 , значит, в точке

zxx M2

zyy M2

zxy M2

 

 

M2 5;6 существует экстремум, так как zxx M2

0 , то это – минимум:

 

 

 

 

 

 

 

 

min z z M2 z 5;6 125 36 180 195 108 20 86

Ответ: min z z 5;6 86 .

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Соседние файлы в папке ryaba_fnp
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности