Матан 1 и 2 курс-20191213T204734Z-001 / ryaba_fnp_ / ryaba_fnp / Ряба_ФНП_6
.pdf
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
ИДЗ-10.1
1.6. Найти область определения указанной функции. z 
x2 y2 5
Решение: Область определения: x2 y2 5 0 x2 y2 (
5)2
Ответ: Область определения: внешность окружности x2 y2 (
5) (с центром в начале координат радиуса 
5 ), включая саму окружность.
2. Найти частные производные и частные дифференциалы данной функции.
2.6. z tg(x3 y2 )
Найдем частные производные:
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3x2 |
||||
zx |
tg(x |
|
y |
|
) x |
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
y |
|
)x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
cos2 (x3 |
y2 ) |
|
|
|
cos2 (x3 y2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2y |
||||
zy |
tg(x |
|
y |
|
) y |
|
|
|
|
|
(x |
|
|
y |
|
)y |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
cos2 (x3 |
y2 ) |
|
|
|
cos2 (x3 y2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||
Частные дифференциалы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
dzx |
|
3x2dx |
|
, dzy |
|
|
|
2ydy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos2 (x3 |
y2 ) |
|
cos2 (x3 y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. Вычислить значения частных производных fx M0 , fy M0 , fz M0 для данной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
f (x, y, z) в точке M0 x0 , y0 , z0 с точностью до двух знаков после запятой. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.6. f (x, y, z) |
ln cos(x |
2 |
y |
2 |
|
z) , M |
|
|
0,0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
fx ln cos(x |
|
|
y |
|
z) x |
|
|
(cos(x |
|
y |
|
z))x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos(x2 y2 z) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
sin(x2 y2 z) (x2 y2 z)x 2xy2tg(x2 y2 z) cos(x2 y2 z)
|
|
M |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
0,0, |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
/ |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
fy |
ln cos(x |
|
y |
|
z) y |
|
|
(cos(x |
|
y |
|
z))y |
|||||
|
|
cos(x2 y2 |
z) |
|
|
||||||||||||
sin(x2 y2 z) (x2 y2 z)y 2x2 ytg(x2 y2 z) cos(x2 y2 z)
f M |
|
|
|
0,0, |
|
0 |
|
|
f |
4 |
|
||||
y |
0 |
|
y |
|
|
|
|
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
|
2 |
|
2 |
/ |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
fz ln cos(x |
|
y |
|
z) z |
|
(cos(x |
|
y |
|
z))z |
|
|
cos(x2 y2 z) |
|
|
sin(x2 y2 z) (x2 y2 z)z tg(x2 y2 z) cos(x2 y2 z)
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
z |
M |
0 |
z |
0,0, |
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. Найти полные дифференциалы указанных функций. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.6. z cos(x2 |
y2 ) x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Вычислим частные производные первого порядка: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
zx |
|
cos(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x2 y2 ) |
x2 |
|
|
3x2 2xsin(x2 y2 ) 3x2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
y2 ) x3 x |
|
y2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
zy |
|
cos(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x2 y2 ) |
x2 |
|
|
0 2y sin(x2 y2 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
y2 ) x3 y |
|
y2 y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Полный дифференциал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
dz zxdx zydy 2xsin(x2 y2 ) 3x2 dx 2ysin(x2 y2 )dy |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Вычислить значение производной сложной функции u u(x, y) , где |
x x(t) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y y(t) , при t t0 с точностью до двух знаков после запятой. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.6. u ln(ex ey ) , |
x t2 |
, y t3 , t0 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем производную сложной функции: ut ux xt uy yt . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В данном случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|||||||
ux |
|
ln(e |
|
|
e |
|
) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(e |
|
e |
|
) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
(ex |
ey ) |
|
|
ex ey |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
ey |
|
|
|
||||||
uy |
ln(e |
|
e |
|
) y |
|
|
|
|
|
|
|
(e |
|
e |
|
) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(ex |
|
ey ) |
|
|
ex ey |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xt 2t , yt 3t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ut |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
2t |
|
ey |
|
|
3t |
2 |
|
|
|
|
|
et 2 |
|
|
2t |
et 3 |
3t |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
ex ey |
|
ex ey |
|
|
|
|
et 2 |
et 3 |
et 2 et 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ut 1 |
|
e |
|
|
2 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
3 |
|
e |
|
|
(2 3) |
5 |
2,5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
e e |
|
e e |
|
2e |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. Вычислить значения частных производных функции z(x, y) , заданной неявно, в данной точке M0 x0 , y0 , z0 с точностью до двух знаков после запятой.
6.6. z3 3xyz 3y 7 , M0 1,1,1
z3 3xyz 3y x (7)x 3z2 zx 3yz 3xyzx 0 0z2 xy zx yz
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
zx |
yz |
z2 xy |
zx M0 zx 1,1,1 1 0,5 2
|
(7)y |
|
|
z3 3xyz 3y y |
|
||
3z2 zy 3xz 3xyzy |
3 0 |
||
z2 xy zy 1 yz |
|
||
(1 yz) |
|
|
|
zy z2 xy |
|
|
|
zy M0 zy 1,1,1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
ИДЗ 10-2. |
|
|
|
3. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u .
3.6. x2 2u |
y2 |
2u |
0 , u exy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем частные производные функции u . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(e |
xy |
|
|
|
e |
xy |
|
|
|
|
|
xy |
|
|
(e |
xy |
|
e |
xy |
|
|
|
xy |
|||
ux |
|
)x |
|
|
(xy)x ye |
|
|
, uy |
|
)y |
|
(xy)y xe |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
xy |
|
2 |
e |
xy |
|
(xe |
xy |
|
|
|
xy |
2 |
e |
xy |
||||
uxx ( ye |
|
)x y(e |
|
)x y |
|
|
|
, uyy |
|
)y x(e |
)y x |
|
|||||||||||||||
Подставим uxx ,uyy |
в левую часть уравнения: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2exy |
y2 x2exy 2x2 y2exy 0 |
|
– |
|
таким |
образом, данная функция не |
|||||||||||||||||||||
удовлетворяет данному уравнению.
4. Исследовать на экстремум функцию.
4.6. z 2x3 2y3 6xy 5
Решение: Найдем критические точки:
zx 6x2 6y 0 y x2 – подставим во второе уравнение:
z 6y2 6x 0
y
x4 x 0 x(x3 1) 0
x1 0 y1 0 x2 1 y2 1
M1 0;0 , M2 1;1 – стационарные точки.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума: zxx 12x , zxy 6 const , zyy 12 y
1) M1 0;0
zxx M1 zxx 0;0 0
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zxy M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0;0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
zyy M1 |
zyy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
2 |
0 0 ( 6) |
2 |
36 0 , значит, в точке M1 0;0 нет |
||
zxx M1 |
zyy M1 zxy |
|
|
|||||||
экстремума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) M2 1;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1;1 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
zxx M2 |
zxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zxy M2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1;1 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
zyy M2 zyy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
12 12 ( 6) |
2 |
144 36 108 0 , значит, в точке |
||
zxx M2 |
zyy M2 zxy M2 |
|
|
|||||||
M2 1;1 существует экстремум, так как zxx M 2 0 , то это – минимум: min z z M2 z 1;1 2 2 6 5 3
Ответ: min z z 1;1 3.
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты