Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4603 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Запорожский национальный технический университет
Предмет:
Высшая математика
Файл:

Матан 1 и 2 курс-20191213T204734Z-001 / ryaba_fnp_ / ryaba_fnp / Ряба_ФНП_11

.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
13.12.2019
Размер:
162.9 Кб
Скачать
☆

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

ИДЗ-10.1

1.11. Найти область определения указанной функции. z 2x2 y2

Решение: Область определения:

2x2 y2 0 y2 2x2 y 2 x

Изобразим область определения на чертеже:

2. Найти частные производные и частные дифференциалы данной функции.

2.11. z arcctg(xy2 )

Найдем частные производные:

 

2

 

1

zx arcctg(xy

 

) x

 

 

1 (xy2 )2

 

2

 

1

zy arcctg(xy

 

) y

 

 

1 (xy2 )2

Частные дифференциалы:

(xy

2

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

)x 1 x2 y4

 

(xy

2

 

 

2xy

 

 

)y

 

 

 

 

1 x2 y4

 

dzx

y2dx

, dzy

2xydy

1 x2 y4

1 x2 y4

3. Вычислить значения частных производных fx M0 , fy M0 , fz M0 для данной функции f (x, y, z) в точке M0 x0 , y0 , z0 с точностью до двух знаков после запятой.

3.11. f (x, y, z)

 

 

y

 

, M0

1,1,0

 

 

 

 

x2

z2

 

 

 

 

 

Решение:

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

1

/

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

2

3

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

z

2

 

y

 

 

 

x

 

 

z

 

 

2

 

x z x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fx

 

 

 

 

x

2

z

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 z2 3

 

 

x2 z2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fx M0

fx 1,1,0

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fy

 

 

 

 

 

x

2

z

2

 

 

2

z

2 y z

 

 

 

x

2

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fx M0

fx 1,1,0 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

1

/

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

2

3

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

z

2

 

y

 

 

 

x

 

 

z

 

 

2

 

x z z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fz

 

 

 

 

x

2

z

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z

 

 

 

 

 

yz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 z2 3

 

 

x2 z2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fx M0

fx 1,1,0

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Найти полные дифференциалы указанных функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.11. z 7x3 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим частные производные первого порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

(7x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (

 

 

 

 

 

 

 

7 y 3x

 

 

y

 

 

 

 

 

21x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zx

 

 

xy )x 7 y(x

 

)x

 

 

 

 

x)x

 

 

 

2

 

 

x

 

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zy (7x3 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)y 7x3 ( y)y

 

 

 

(

 

 

)y 7x3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

7x3

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

x

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

y

2

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полный дифференциал:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz zxdx zydy 21x y

 

 

2

 

 

x

dx

7x

2 y

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Вычислить значение производной сложной функции u u(x, y) , где

x x(t) ,

y y(t) , при t t0 с точностью до двух знаков после запятой.

 

5.11. u ey 2 x 1 , x cost , y sin t , t0 .

 

 

2

 

Найдем производную сложной функции: ut ux xt uy yt .

 

В данном случае:

 

 

ey 2 x 1 ( y 2x 1)x 2ey 2 x 1

 

ux ey 2 x 1 x

 

 

ey 2 x 1 ( y 2x 1)y ey 2 x 1

 

uy ey 2 x 1 y

 

xt sin t , yt cost

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Таким образом:

ut 2ey 2 x 1

( sin t) ey 2 x 1 cost esin t 2 cos t 1 (2sin t cost)

 

 

e1 0 1

(2 0) 2

u

 

t 2

 

 

 

6. Вычислить значения частных производных функции z(x, y) , заданной неявно, в данной точке M0 x0 , y0 , z0 с точностью до двух знаков после запятой.

6.11. x2 2y2 3z2 yz y 2 , M0 1,1,1

x2

2y2 3z2

 

 

 

 

(2)x

yz y x

2x 6zzx yzx 0 0

 

 

6z y zx 2x

 

 

zx

 

2x

 

 

 

 

 

 

6z y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zx M0 zx 1,1,1

2

 

 

2 0,4

6 1

 

 

 

 

 

 

5

x2

2y2 3z2

 

 

 

 

(2)y

yz y y

0 4 y 6zzy z yzy 1 0

6z y zy 4 y z 1

zy 4y z 1

 

 

 

 

6z y

 

 

 

 

zy M0 zy 1,1,1

4 1 1

 

4

0,8

 

6 1

 

5

 

ИДЗ 10-2.

 

 

 

 

3. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u .

3.11.u u u 0 , u (x y)( y z)(z x)

x y z

Преобразуем функцию:

u(x y)( y z)(z x) (xy y2 xz yz)(z x)

xyz y2 z xz2 yz2 x2 y xy2 x2 z xyz y2 z xz2 yz2 x2 y xy2 x2 z

Найдем частные производные первого порядка функции u .

 

 

2

z xz

2

yz

2

x

 

2

y xy

2

x

2

 

 

 

 

2

0 2xy y

2

2xz z

2

2xy y

2

2xz

 

ux ( y

 

 

 

 

 

 

 

z)x 0 z

 

 

 

 

 

 

 

 

2

z xz

2

yz

2

x

2

y xy

2

x

2

 

 

 

 

 

0 z

2

x

2

2xy 0

2yz z

2

x

2

2xy

uy ( y

 

 

 

 

 

 

z)y 2yz

 

 

 

 

 

( y

2

z xz

2

yz

2

x

 

2

y xy

2

x

2

 

y

2

2xz 2yz

0

0 x

2

y

2

2xz

2yz x

2

uz

 

 

 

 

 

 

 

z)z

 

 

 

 

Подставим ux ,uy ,uz в левую часть уравнения:

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

z2 2xy y2 2xz 2yz z2 x2 2xy y2 2xz 2yz x2 0 Таким образом, данная функция удовлетворяет данному уравнению. 4. Исследовать на экстремум функцию.

4.11. z x2 xy y2 6x 9y

Решение: Найдем критические точки:

zx 2x y 6 0

 

2x y 6 0

 

3y 12 0 y 4

– подставим в

 

 

 

 

 

 

zy x 2y 9

0

 

2x 4y 18

0

 

 

 

первое уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 4 6 0 x 1

 

 

 

 

 

 

M 1;4

– стационарная точка.

 

 

 

 

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

 

 

 

const ,

 

1 const ,

 

 

 

 

 

zxx 2

zxy

zyy 2 const

 

 

 

 

 

2

2

4 1 3 0 , значит, в

точке

M 1;4

zxx M zyy M zxy M 2

2 1

существует экстремум, так как zxx M 0 , то это – минимум: min z z M z 1;4 1 4 16 6 36 21

Ответ: min z z 1;4 21.

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Соседние файлы в папке ryaba_fnp
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности