Матан 1 и 2 курс-20191213T204734Z-001 / ryaba_fnp_ / ryaba_fnp / Ряба_ФНП_1

z

3xy

2x 5y

Ответ: Область определения: координатная плоскость

XOY

кроме прямой y

2 x

5

2. Найти частные производные и частные дифференциалы данной функции.

2.2. z ln y2 e x

Найдем частные производные:

2

x

1

2

x

1

x

e x

zx ln y

e

x

y2 e x

y

e

x

y2 e x

0

e

( x)x

y2 e x

1

1

2y

zy ln y2 e x y

y2 e x y

2y 0

y2 e x

y2 e x

y2 e x

Частные дифференциалы:

dzx

e xdx

, dzy

2ydy

y2 e x

y2 e x

fx M0 , fy M0 , fz M0 для данной

3. Вычислить значения частных производных

функции f (x, y, z) в точке M0 x0 , y0 , z0 с точностью до двух знаков после запятой.

3.1. f (x, y, z)

z

,

M0 0, 1,1

x2 y2

Решение:

/

z

2

2

1

/

1

2

2

3

2

2

fx

z x

y

2

z

x

y

2 x

y

x

2

2

x

y

x

2

x

z

2x

xz

2

x2 y2 3

x2 y2 3

fx M0 fx 0, 1,1

0

0

1

z

/

2

2

1

/

1

2

2

3

2

2

fy

z

x

y

2

z

x

y

2 x

y

y

2

2

x

y

y

2

y

z

2y

yz

2

x2 y2 3

x2 y2 3

z

/

1

z /z

1

fz

2

2

2

2

2

2

x

y

x

y

x

y

z

fx M0 fx 0, 1,1 1

1

1

4. Найти полные дифференциалы указанных функций.

4.1. z 2x3 y 4xy5

Вычислим частные производные первого порядка:

zx 2x

3

y 4xy

5

2y x

3

4y

5

2y

3x

2

4y

5

1

6x

2

y 4y

5

x

x

x x

zy 2x

3

y

4xy

5

2x

3

4x y

5

2x

3

1

4x 5y

4

2x

3

20xy

4

y

y y

y

Полный дифференциал:

dz zxdx zydy 6x2 y 4y5 dx 2x3 20xy4 dy

5. Вычислить значение производной сложной функции u u(x, y) , где

x x(t) ,

y y(t) , при t

t0

с точностью до двух знаков после запятой.

5.1. u ex 2 y ,

x sin t ,

y t3 , t0

0 .

Найдем производную сложной функции: ut ux

xt uy

yt .

В данном случае:

ux e

x 2 y

e

x 2 y

x 2 y

e

sin t 2t 3

x

x 2y x e

uy e

x 2 y

e

x 2 y

x 2 y

2e

sin t 2t 3

y

x 2 y y 2e

xt cost ,

yt 3t2

Таким образом:

ut esin t 2t 3 cost 2esin t 2t 3

3t2

ut 0 e0 cos0 2e0 3 0 1 0 1

x

3

y

3

z

3

3xyz

x 4 x

3x2 0 3z2 zx 3yz 3xyzx 0

z2 xy zx yz x2

zx

yz x2

z2

xy

zx

M0 zx 2,1,1

1 4

3

3

1 2

1

x

3

y

3

z

3

3xyz y 4 y

0 3y2

3z2 zy 3xz 3xyzy 0

z2 xy zy xz y2

zy

xz y2

z2

xy

zy M0 zy

2,1,1 2 1

1

1

1

1 2

3.1. x2 2u 2xy

2u

y2

2u

0 , u

y

y2

x2

x y

x

Найдем частные производные функции u .

u

y

/

y

u

y

/

1

,

x2

x

x

x

x

y

x

y

u

y /

2y

u

y

/

1

, u

1

/

,

0

x3

x2

x2

xx

x2 x

xy

y

yy

x

y

в левую часть уравнения:

Подставим uxx

,uxy

,uyy

x

2

2y

2xy

1

y

2

0

2 y

2 y

0 0

– получена правая часть уравнения.

x3

x

x

x2

y

zx

1 0

2

x

y 2 x x 8 x 14 0 7 x 14 x 2

x 4y 14 0

zy

x 4; y 4

M 0 4;4

– стационарная точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

y

1

,

zxx

x3

, zxy

2

x

zyy 4 const

4

4;4

4

1

zxx M0 zxx

4 8

8

2

1

1

2

1

1

7

4

0 , значит в точке

zxx M0

zyy M0

zxy M0

8

4

2

16

16