КЛАСИЧНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ
•Основні поняття та означення
•Перехідні процеси в колах R, C та R, L
•Перехідні процесі у колі R, L, C
•Перехідні процеси у колах R, C; R, L; R, L, при синусоїдній дії
b |
d n y(t) |
+b |
d n−1 y(t) |
+... +b |
dtn |
|
n |
n−1 dt n−1 |
1 |
iL (−0) =iL (+0) |
uC (−0) =uC (+0) |
Ldidt(t) + Ri(t) = E i(t) =iвл(t) +iвм(t)
i(t) = − ER e−t /τ + ER = ER (1 −e−t /τ )
1 |
|
R |
u(t), i(t) |
|
|
E |
|
|
|
|
S |
i(t) |
|
E |
2 |
|
R |
uR (t) |
L |
E |
|
uL (t) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
E |
|
|
|
|
R |
C
dy(t) +b y(t) = |
f (t) |
dt |
0 |
|
|
|
О. Коші
uR (t)
uL (t) i(t)
t
iвл(t)
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
281 |
6 КЛАСИЧНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ПЕРЕХIДНИХ ПРОЦЕСІВ
6.1 Основнi поняття та означення
У розділах 1−3 розглянуто усталенi (стацiонарнi) процеси в лiнiйних електричних колах. Стацiонарний режим (процес) характеризується тим, що струми i напруги або незмiннi у часi (кола постiйного струму), або є перiодичними функцiями часу (кола змiнного струму).
Реальнi електричнi процеси завжди вiдрiзняються вiд стацiонарних, тому що будь-яка неперiодична змiна типу дiї, параметрiв кола або структури схеми викликає порушення стацiонарностi режиму.
Перехiдним зветься процес, який виникає в електричному колi під час переходу вiд одного усталеного режиму до iншого. Перехiднi процеси виникають за певних умов, наприклад, при комутацiї.
Комутацiя − це змiна параметрiв або схеми кола, ввімкнення або вимкнення джерела електричної енергiї, зміна напруги на вході кола. Якщо коло мiстить тiльки активнi опори, то комутацiя "миттєво" викликає вiдповiднi змiни струмiв i напруг у вiтках. За наявностi реактивних елементiв комутацiя супроводжується появою перехiдних процесiв. Теоретично тривалiсть перехiдного процесу нескiнченна, а практично залежить від параметрів кола і вимірюється для низькочастотних кіл мiлiсекундами або мiкросекундами. Застосовуючи спеціальні схеми і підбираючи параметри кола, можна прискорити чи уповільнити перехідний процес.
Отже, умовами виникнення перехiдних процесiв є: 1) комутацiя; 2) наявнiсть у колi реактивних елементiв.
Перехідні процеси в деяких електричних колах пристроїв зв’язку, автоматики, імпульсної та телевізійної техніки є робочими процесами при нормальній експлуатації цих пристроїв. Іноді перехідні процеси супроводжуються небажаними явищами: на певних ділянках кола виникають перенапруги і так звані надструми.
Тому розрахунок і дослідження перехідних процесів є важливою інженерною задачею.
6.1.1 Закони комутацiї i початковi умови
Виникнення перехiдних процесiв пов'язано з особливостями змiнювання енергiї електромагнiтного поля у реактивних елементах. З фiзичних мiркувань
зрозумiло, що |
енергiя |
поля в iндуктивностях |
wL = LiL2 / 2 |
та ємностях |
w |
= Cu 2 / 2 |
не |
може |
змiнюватися миттєво: |
енергiя може |
змiнюватися |
C |
C |
тому що інакше потужнiсть p = dw/ dt , яка дорiвнює похiднiй |
безперервно, |
енергiї за часом, досягала б нескiнченного значення, що фiзично неможливо. Це твердження виражає принцип неперервностi у часi сумарного
магнiтного потокозчеплення iндуктивностi Ψ i сумарного електричного заряду
282 |
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |
ємностi q. Якщо момент комутацiї розглядати як початок вiдлiку часу t0 = 0 , то
момент безпосередньо перед комутацiєю позначається t = −0 , а момент пiсля комутацiї t = +0 . Враховуючи цi позначення, можна записати:
∑qi (−0) = ∑qi (+0) ; |
∑Ψi (−0) = ∑Ψi (+0) . |
i |
i |
i |
i |
Оскiльки Ψ=Li , Q=Cu , то ∑LiiL(−0)=∑LiiL(+0) ; ∑CiuC(−0) =∑CiuC(+0) .
З цих рiвнянь, вважаючи сумарні значення L i C незмiнними, отримують так званi закони комутацiї:
iL (−0) = iL (+0) − перший закон комутацiї; uC (−0) =uC (+0) − другий закон комутацiї.
Отже, у початковий момент пiсля комутацiї струм в iндуктивностi (напруга на ємностi) залишається саме таким, яким вiн був безпосередньо перед комутацiєю, а потiм плавно змiнюється. При цьому слiд пам'ятати, що в колах з ідеальними елементами стрибкоподiбно можуть змiнюватися: 1) струми в опорах та ємностях; 2) напруги на опорах та iндуктивностях.
Значення струму в iндуктивностi та напруги на ємностi до моменту комутацiї звуться початковими умовами. Оскільки початок перехідного процесу звичайно вважають таким, що збігається з початком відліку часу, то початкові умови для струму в індуктивності та напруги на ємності k-ї вітки позначають iLk (−0) , uC k (−0) .
Розрізнюють нульові та ненульові початкові умови. Якщо первинний запас енергії у всіх реактивних елементах кола дорівнює нулю, початкові умови називаються нульовими. Якщо хоча б в одному накопичувальному елементі первинний запас енергії ненульовий, початкові умови називають ненульовими. Наприклад, кола (рис.6.1 і 6.2, а) мають нульові початкові умови, а коло (рис.6.2, б) – ненульові.
За нульових початкових умов, коли iL (−0) = 0 , uC (−0) = 0 , iндуктивнiсть у
початковий момент часу пiсля комутацiї еквiвалентна розриву кола, а ємнiсть − короткому замиканню. У випадку ненульових початкових умов, тобто коли iL (−0) ≠ 0 , uC (−0) ≠ 0 , iндуктивнiсть в перший момент пiсля комутацiї
еквiвалентна джерелу струму iL (−0) , а ємнiсть − джерелу ЕРС uC (−0) .
Початковими значеннями називають значення всіх електричних величин та їх похідних безпосередньо після комутації, тобто в момент часу t = +0 .
Використовують поняття незалежних початкових значень: iL (+0) , uC (+0) .
Аналізуючи перехiдні процеси у розгалужених колах, поряд з незалежними використовують так званi залежнi початковi значення, а саме: значення всiх струмiв i напруг, крiм iL , uC , а також їх похiдних при t = +0 . Залежні початкові
значення обчислюють за незалежними, виходячи з законiв Кiрхгофа.
При розрахунку перехідних процесів в електричних колах початкові значення мають бути відомими – заданими або додатково знайденими з урахуванням законів комутації.
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
283 |
6.1.2 Вимушений i вiльний режими
Аналiз електричних процесiв в ЛЕК, як вiдомо, базується на розв'язаннi рiвнянь Кiрхгофа для миттєвих значень напруг i струмiв в елементах кола. Оскільки дані миттєві значення пов’язані диференціальними залежностями, рівняння, які описують перехідні процеси, є диференціальними.
У ЛЕК з постійними зосередженими параметрами процеси описують лiнiйним неоднорiдним диференцiальним рiвнянням з постiйними коефiцiєнтами, методику складання якого можна розглянути на прикладі кола
(рис.6.1) |
з нульовими |
|
|
початковими умовами, де треба знайти |
струм в |
iндуктивностi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З урахуванням диференцiального |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спiввiдношення (1.16) мiж напругою i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
струмом в елементі L система рiвнянь за |
|
|
|
e(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
законами Кірхгофа матиме вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i (t) =i |
|
(t) + i |
|
(t) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
(t) |
|
|
2 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 (t) |
L |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 6.1 – Електричне коло з |
|
|
e(t) =i1(t)R1 + i2 (t)R2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = L |
diL (t) |
|
−i2 (t)R2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нульовими початковими умовами |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв'язуючи систему методом пiдстановки, можна пiдставити значення |
i1(t) з першого рiвняння до другого: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e(t) −iL (t)R1 |
|
|
|
|
|
|
e(t) =i |
2 |
(t)R + i |
L |
(t)R + i |
2 |
(t)R ; |
|
|
|
i |
2 |
(t) = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + R2 |
|
|
|
а далi вираз для струму i2 (t) − до третього рiвняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = L |
diL (t) |
|
− |
|
|
e(t)R2 |
+ iL |
(t) |
R1R2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
R1 + R2 |
|
|
|
R1 + R2 |
|
|
|
В результатi виходить диференцiальне рiвняння вiдносно струму iL (t) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
R1 + R2 |
|
diL (t) |
+ iL (t) = e(t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1R2 |
|
|
|
dt |
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У загальному виглядi процеси |
в |
|
ЛЕК |
описуються |
лiнiйним |
диференцiальним рiвнянням n-го порядку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
d n y(t) |
+ b |
d n−1 y(t) |
+... + b |
|
dy(t) |
+ b y(t) = f (t) , |
|
|
(6.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n dt n |
|
|
|
|
|
n−1 dt n−1 |
1 dt |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
y(t) − шукана функція (струм, напруга) – |
|
відгук кола на вхідну дію; |
f (t) = a |
|
d m x(t) + a |
|
|
|
d m−1x(t) |
+... + a dx(t) |
+ a x(t) |
|
– |
|
|
відома функція, яка |
|
m dtm |
|
|
|
|
m−1 dtm−1 |
|
|
|
|
|
|
1 dt |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
залежить від дії x(t) ; |
a0 , a1, ..., am ; |
b0 , b1, ..., bn − постiйнi коефiцiєнти. |
|
|
|
Важливо зазначити, що вигляд лівої частини рівняння (6.2) не залежить від того, для якої змінної воно складається, а залежить тільки від схеми кола і
284 |
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |
параметрів його елементів. У цьому легко переконатися, записавши рівняння (6.1) відносно напруги на індуктивності та врахувавши зв’язок iL (t) та uL (t) :
R |
+ R |
2 |
|
1 t |
e(t) |
1 |
|
|
uL (t) + |
|
∫uL (t)dt = |
|
. |
R R |
2 |
|
L |
R |
|
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
Якщо продиференціювати останнє рівняння за часом та помножити його на L , виходить вираз:
|
|
|
L R1 + R2 duL (t) |
+uL (t) = |
|
L de(t) |
, |
|
(6.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 dt |
|
|
|
|
R1R2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
який відрізняється від рівняння (6.1) тільки правою частиною. |
|
|
|
|
Стосовно ж до (6.1), |
|
|
R1 + R2 |
; f (t) = e(t) |
|
1 |
|
|
x(t) = e(t) ; y(t) =i |
L |
(t) ; n =1; b =1; b = L |
; a = |
. |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
R1R2 |
R1 |
0 |
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
У математицi існують рiзнi способи розв'язання рiвняння (6.2).
Згiдно з класичним методом розв'язок (6.2) слiд шукати у виглядi суми двох функцiй – загального розв’язку однорідного рівняння і частинного розв’язку неоднорідного рівняння:
y(t) = yвл(t) + yвм(t) , |
(6.4) |
де yвл(t) − загальний розв'язок рівняння (6.2) без правої частини, який характеризує електричнi явища за вiдсутнiстю зовнiшньої дiї; yвм(t) −
частинний розв'язок (6.2) з правою частиною.
Відомо, що задача визначення частинного розв’язку диференціального рівняння при заданій початковій умові має назву задачі Коші1.
Класичний метод аналізу перехідних процесів в електричних колах полягає у складанні диференціального рівняння, що описує стан кола, розв’язанні цього рівняння і фізичному трактуванні розв’язку. Перевагою класичного методу є відносна простота, якщо порядок кола не перевищує двох.
У колі з реактивними елементами енергія джерела частково розсіюється на опорах, а частково накопичується в реактивних елементах. Процеси, які існують у колі за рахунок цього запасу енергії після відімкнення джерела, називають вільними. Тобто, якщо дія x(t) = 0 , коло перебуває у вiльному
режимі. Функцiї, що визначаються за загальним розв'язком, звуться вiльними складовими (струмiв, напруг тощо). Характер вільного процесу визначається схемою кола і параметрами його елементів.
Функція yвм(t) характеризує вимушений режим, обумовлений зовнiшнiм джерелом. Характер змінювання електричних величин у колі у вимушеному
1 Коші Огюстен Луі, Cauchy (1789−1857) – французький математик, член Паризької АН (1816) і Петербурзької АН (1831). Автор більше 800 праць з арифметики і теорії чисел; алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, тригонометрії, теоретичної та небесної механіки, математичної фізики, теорії пружності, оптики тощо. Коші належать терміни «модуль» комплексного числа, «спряжені» комплексні числа та ін.
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
285 |
режимі визначається не тільки схемою і параметрами кола, але й законом змінювання дії. Якщо дія x(t) − постiйна функцiя або перiодична за часом, то
вимушений струм (напруга) буде одночасно i усталеним.
Iснує унiверсальний метод визначення вiльної складової, згiдно з яким оператор диференцiювання в однорідному для (6.2) рівнянні
|
|
b |
d n y(t) |
+ b |
|
d n−1 y(t) |
+... + b |
dy(t) |
+ b y(t) = 0 |
(6.5) |
|
|
|
dt n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n−1 dt n−1 |
|
1 dt |
|
0 |
|
|
замiнюють алгебраїчним оператором p: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d n y(t) |
= pn ; |
|
d n−1 y(t) |
= pn−1 ... |
|
d 2 y(t) |
= p2 ; |
|
dy(t) |
= p ; |
y(t) =1. |
|
dt n |
|
dt n−1 |
|
|
dt 2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді вираз (6.5) перетворюється у характеристичне рiвняння кола: |
|
|
|
|
b pn |
+b |
pn−1 |
+... +b p +b |
= 0 . |
|
(6.6) |
|
|
|
|
n |
|
|
n−1 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
Степiнь характеристичного полiнома – лівої частини виразу (6.6) – визначається порядком диференцiального рiвняння (6.2) i зветься порядком кола.
Примітка. Диференціальне рівняння кола можна отримати, не складаючи вихідної системи рівнянь Кірхгофа. Достатньо визначити комплексну передатну функцію (КПФ) кола H (ω) .
Щоб довести це твердження, доцільно скористатись комплексними миттєвими значеннями дії та відгуку. Якщо дія
x(t) = X me jωt ,
то для лінійного кола відгук змінюється з такою самою частотою, але має іншу комплексну амплітуду
y(t) = H (ω) X me jωt .
Функція y(t) є частинним розв’язком рівняння (6.2). Підстановка x(t) |
|
і |
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до (6.2) призводить до тотожності: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H (ω) X |
|
m |
e jωt[b ( jω)n |
+b |
|
|
( jω)n−1 +K+b jω +b ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n−1 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= X |
m |
e jωt [a |
m |
( jω)m |
+ a |
m−1 |
( jω)m−1 +K+ a |
jω+ a |
0 |
]. |
|
|
(6.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множник ( jω)n |
здобутий внаслідок n-кратного диференціювання e jωt . Після |
скорочення на e jωt та X m з виразу (6.7) виходить, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ( jω)m + a |
|
|
( jω)m−1 +K+ a jω + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H (ω) = |
m |
|
|
|
m−1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
. |
|
|
|
|
(6.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b ( jω)n +b |
|
( jω)n−1 +K+b jω +b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Порівнюючи формули (6.2) і (6.8), неважко помітити, що коефіцієнти ak |
|
і bk |
відповідно однакові, jω − символ першої похідної, а |
( jω)k |
− символ k-ї похідної. |
Добуток b ( jω)k відповідає члену b |
|
d k y(t) |
диференціального рівняння, а a |
k |
( jω)k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
dt k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
286 |
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |
|
− ak |
d k x(t) |
. Отже, за знаменником дробу (6.8) можна скласти ліву частину рівняння |
|
dt k |
|
|
|
(6.2), а за чисельником (6.8) – праву.
Використання КПФ кола для складання підсумкового рівняння дещо спрощує класичний метод аналізу, оскільки зведення системи рівнянь до одного рівняння – задача досить громіздка, простіше визначити КПФ.
Знаменник виразу (6.8) після заміни ( jω)k на pk утворює характеристичний
поліном. Якщо цей поліном прирівняти до нуля, виходить характеристичне рівняння. Як зазначено вище, вигляд лівої частини рівняння (6.2) не залежить від того, для якої змінної воно складається. Тому для здобуття рівняння кола можна
скористатись комплексною функцією (КФ) будь-якого виду, зокрема КВФ – комплексною вхідною функцією – Z вх(ω) чи Y вх(ω) , а для складання характеристичного рівняння застосувати такий спосіб: а) записати формулу вхідного опору або провідності кола в комплексній формі; б) у формулі Zвх( jω) чи Yвх( jω) замінити множник jω на p ; в) отриманий вираз прирівняти до нуля: Zвх( p) = 0 ,
Yвх( p) = 0 .
Характеристичне рівняння можна отримати, прирівнюючи до нуля вхідний опір Zвх( p) відносно будь-якої вітки кола. У тих випадках, коли розгалужене коло має
єдиний накопичувач енергії, зручніше розглядати формулу вхідного опору відносно вітки з накопичувачем енергії. Якщо у схемі є джерело струму, для здобуття характеристичного рівняння рекомендуються виконати одну з двох дій: розрахувати опір Zвх( p) не відносно вітки з джерелом (вважаючи її розімкненою), а відносно
будь-якої іншої вітки кола; або розрахувати провідність відносно вітки з джерелом і прирівняти її до нуля: Yвх( p) = 0 .
Як скласти диференціальне та характеристичне рівняння кола за допомогою КПФ і Zвх( p) , розглянуто у прикладі 6.2.
Вигляд вільної складової визначається характером коренiв характеристичного рiвняння pk (k =1,2,..., n).
Корені pk рівняння (6.6) можуть бути дійсними, комплексними, простими
і кратними. Оскільки в ЛЕК параметри елементів додатні, а коефіцієнти рівняння (6.6) визначаються схемою кола і параметрами її елементів, то bi > 0 .
Тому корені pk − від’ємні дійсні або комплексні-спряжені, які мають від’ємну дійсну частину ( Re pk < 0 ).
Якщо серед коренів характеристичного рівняння немає кратних, тоді
n
yвл(t) = ∑Ak e pk t , (6.9)
k =1
де Ak − сталi iнтегрування.
Якщо є комплексно-спряжені корені, наприклад pk,k +1 = −δk ± jωвлk , то вираз Ak e pk t + Ak +1e pk +1t перетворюється у
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
287 |
e−δk t ( Ak e jωвлk t +Ak +1e− jωвлk t ) = e−δk t (M cos ωвлk t + N sin ωвлk t) =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Ae−δk t sin(ω |
|
t +ψ) , |
|
|
|
|
(6.10) |
де А, |
ψ − сталі інтегрування. |
|
|
влk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо |
серед |
n коренів |
|
pk |
|
l |
коренів |
є |
кратними |
дійсному |
кореню, |
наприклад p1 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.11) |
|
|
|
вл |
(t) = ( A + A t +K+ A tl −1)e p1t + ∑A e pk t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
l |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =l +1 |
|
|
|
|
|
Якщо є m-кратні спряжені комплексні корені, тоді |
|
|
|
|
|
|
y |
|
(t) = e |
−δ t |
m |
i−1 |
(M |
|
cos ω t + N |
|
sin ω t) + |
n |
p |
t |
. |
(6.12) |
|
вл |
1 |
∑t |
|
|
i |
i |
∑A e |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вл |
|
вл |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
k =m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З огляду на те, що в ЛЕК корені або їх дійсна частина є від’ємними,
lim yвл(t) = 0 .
t →∞
Оскільки вільні процеси в ЛЕК загасають, розв’язок диференціального рівняння y(t) з часом прямує до yвм(t) :
lim y(t) = yвм(t) . |
(6.13) |
t →∞ |
|
Теоретично перехідний процес продовжується нескінченно і вимушена складова yвм(t) є розв’язком рівняння для t →∞. Ця обставина дозволяє у
випадку постійної або синусоїдної дії визначати yвм(t) методами теорії кіл,
викладеними вище у розд.2 і 3.
Кількість сталих інтегрування Ak у розв’язку рівняння кола збігається з його порядком n. Щоб визначити n сталих Ak , необхідно n рівнянь і n
початкових умов. Необхідну кількість рівнянь можна отримати n −1 кратним диференціюванням розв’язку (6.4). Початкові значення знаходять, розглядаючи вихідну систему рівнянь Кірхгофа при t = +0 , в якій незалежні початкові значення відомі з законів комутації.
Нехай розв’язок рівняння кола порядку n має вигляд:
n
y(t) = ∑Ak e pk t + yвм(t) . (6.14)
k =1
Якщо продиференціювати (6.14) послідовно n −1 разів, вийде система:
|
′ |
n |
|
Ak e |
pk t |
′ |
|
|
|
|
|
y |
(t) = ∑ pk |
|
+ yвм(t); |
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
y |
′′ |
n |
2 |
Ak e |
pk t |
′′ |
|
|
(6.15) |
|
(t) = ∑ pk |
|
+ yвм(t); |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
......................................... |
|
y(n−1) |
|
n |
|
|
|
|
(t). |
(t) = ∑ pn−1A e pk t + y(n−1) |
|
|
|
k =1 |
k |
k |
вм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для t = +0 співвідношення (6.14) і (6.15) призводять до системи рівнянь відносно Ak :
288 |
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |
|
n |
|
|
|
y(+0) = ∑Ak + yвм(+0); |
|
|
k =1 |
|
|
|
′ |
n |
|
′ |
|
= ∑ pk |
|
y (+0) |
Ak + yвм(+0); |
|
k =1 |
|
|
(6.16) |
′′ |
n |
2 |
′′ |
|
|
y (+0) |
= ∑ pk |
Ak + yвм(+0); |
|
k =1 |
|
|
|
......................................... |
|
y(n−1) (+0) |
n |
|
|
(+0). |
= ∑ pn−1A + y(n−1) |
|
k =1 |
k |
k вм |
|
|
|
|
|
Знаючи початкові значення, тобто ліві частини рівнянь (6.16), знаходять Ak . Наприклад, для кола першого порядку
y(+0) = A1 + yвм(+0) , звiдки A1 = y(+0) − yвм(+0) .
Отже, аналізперехiднихпроцесiвкласичнимметодомскладаєтьсязетапів:
1.Визначення початкових умов iLk (−0) , uC k (−0) .
2.Визначення незалежних початкових значень iL (+0) , uC (+0) ,
використовуючи закони комутації.
3.Складання системи рівнянь за законами Кірхгофа для моменту часу t = +0 , отримання диференціального рівняння кола відносно шуканої змінної.
4.Визначення характеристичного рівняння (6.6) і його коренів,
розрахунок вільного режиму за формулами (6.9) − (6.12).
5.Розрахунок вимушеного режиму.
6.Визначення залежних початкових значень.
7.Розрахунок сталих інтегрування, виходячи зі співвідношень (6.16).
8.Підсумовування вільних та вимушених складових за формулою (6.4). Слiд пам'ятати, що фiзично iснують тiльки повнi струми (напруги), якi
дорiвнюють сумi вимушеної та вiльної складових. Саме їх можна вимiрювати або спостерiгати за допомогою приладiв (осцилографа, вольтметра тощо). Щодо них слушнi закони комутацiї. Вимушена та вiльна складовi є розрахунковими величинами, сума яких дає реальнi (фiзичнi) струми i напруги.
Приклад 6.1. Скласти диференціальне рівняння для кола з нульовим (рис.6.2, а) і ненульовим (рис.6.2, б) первинним запасом енергії.
i1 (t) R1 |
|
1 |
|
i1 |
(t) |
R1 |
1 |
|
e(t) |
|
K2 |
R2 |
|
e(t) |
C |
R2 |
K1 |
C |
|
|
L |
i2 (t) |
|
|
i3 (t) |
i2 (t) |
|
2 i3 (t) |
|
|
2 |
|
|
а |
|
|
|
|
б |
|
Рисунок 6.2 – Електричні кола: а – з нульовими; б – з ненульовими початковими умовами
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
289 |
Розв’язання. Рівняння, що описують процеси в колі, складаються для режиму після комутації. Складемо для схеми (рис.6.2, а) систему рівнянь за методом Кірхгофа, наприклад для вузла 1 та контурів K1 і K2 :
|
|
|
|
|
|
|
|
i (t) −i (t) −i (t) = |
0 ; |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
di (t) |
|
|
|
|
1 t |
|
|
R1i1 |
(t) + |
|
∫i3 (t)dt + L |
1 |
= |
|
|
|
|
C 0 |
|
dt |
|
R i (t) + R i (t) + L di1(t) = e(t |
|
1 1 |
|
2 2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Щоб розв’язати систему (6.17), зведемо її до рівняння відносно якої-небудь однієї змінної, наприклад струму i1(t) . Для цього продиференціюємо друге рівняння системи (6.17):
|
|
|
|
|
di (t) |
|
|
|
|
d 2i (t) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
de(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
1 |
|
|
+ L |
1 |
|
+ |
|
|
i |
|
(t) |
= |
|
|
. |
|
|
(6.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далі знайдемо з першого рівняння системи (6.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
а з третього – |
|
|
|
|
|
|
|
|
i3 (t) =i1(t) −i2 (t) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.19) |
|
|
|
|
(t) = e(t) |
|
|
L |
di1(t) |
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
− |
− |
i (t) . |
|
|
|
|
(6.20) |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставивши (6.20) до (6.19), а далі вираз для i3 (t) до (6.18), здобудемо |
підсумкове рівняння для струму i1(t) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2i |
(t) |
|
L + R R C di |
(t) |
|
|
R + R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 de(t) |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
+ |
1 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
i (t) |
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
e(t) . |
(6.21) |
dt 2 |
R2 LC |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
L |
dt |
R2 LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 LC |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки порядок рівняння (6.21) другий, коло (рис.6.2, а) є колом другого порядку.
Якщо первинний запас енергії кола ненульовий (рис.6.2, б), після комутації схема виглядатиме так само, як і для кола з нульовими початковими умовами, а
система рівнянь за законами Кірхгофа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) −i2 |
(t) −i3 (t) = 0 ; |
|
|
|
i1 |
di (t) |
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
R1i1(t) + |
|
|
|
∫ i3 (t)dt + L |
1 |
= e(t) ; |
(6.22) |
|
C |
|
|
|
−∞ |
|
dt |
|
|
R i (t) + R i (t) + L di1(t) = e(t) |
|
|
1 1 |
2 2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
буде аналогічною системі (6.17). Системи (6.17) і (6.22) відрізняються лише нижньою межею інтеграла у другому рівнянні, який можна записати у вигляді:
1 |
t |
1 |
0 |
1 t |
|
1 t |
|
∫ i3 (t)dt = |
|
∫ i3 (t)dt + |
|
∫i3 (t)dt =UC0 |
+ |
|
∫i3(t)dt , |
|
|
|
|
C −∞ |
C −∞ |
C 0 |
|
C 0 |
де UC0 − початкова напруга на ємності в момент комутації.
290 |
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |
