Использование штрафов для отсеивания бесперспективных ветвей

Итак, в предыдущем разделе фактически сформулированы правила, по которым можно отбрасывать ветви, соответствующие задачам, не имеющим решения. Причем, использование механизма штрафов позволяет вообще отказаться от решения соответствующих задач.

Следующий вопрос - это использование механизма штрафов для отсеивания бесперспективных ветвей.

Допустим, в результате решения серии задач ЛП в списке задач имеется некоторая задача, оптимальное решение которой удовлетворяет требованию целочисленности, и на этом решении целевая функция имеет значение R.

Пусть из списка выбирается некоторая задача, имеющая максимальную оценку Z* (естественно, большую, чем R).

Пусть, далее выбирается нецелая координата  x_p  , и по этой координате вычисляются штрафы. Если какой-либо штраф не удается вычислить, соответствующая ветвь отбрасывается, так как новая задача не имеет решения.

Пусть вычислены штрафы (сверху) и (снизу).

Тогда открывается возможность установить "бес­пер­спектив­ность" соответствующих новых задач:

1. Z* -   R  -  решать задачу, которая порождается введением ограничения x_p   [x_p0 ] + 1 не имеет смысла: оценка будет заведомо плохой;

2. Z* -   R  -  решать задачу, которая порождается введением ограничения x_p  [x_p0 ]  не имеет смысла: оценка будет заведомо плохой;

Отсюда естественным образом вытекает следующее правило:

Если max{ Z* -  , Z* -  } R  , следует вообще отказаться от ветвления по переменной x_p (соответствующая ветвь просто отбрасывается).

Рассмотрим вопрос выбора переменной для ветвления.

Ветвление имеет смысл осуществлять по той переменной, которая имеет максимальный штраф.

Штраф переменной x_p (p=1,2,...,m) определяется следующим образом:

= max{ , }^*)

^*) - этим подчеркивается то обстоятельство, что какого-либо штрафа может и не быть.

Таким образом, для ветвления выбирается переменная с максимальным штрафом - ускоряется процесс уточнения оценки.

После того, как выбрана переменная, формируются две задачи.

В первую очередь решается та задача, которая обладает минимальным штрафом (сверху или снизу).

Эта задача, если, конечно, она перспективна, решается и помещается в список.

Затем исследуется вторая задача (если она есть). Если она перспективна (первая решенная задача может сделать вторую бесперспективной), то решается и помещается в список задач.

В общем случае перспективность той или иной задачи проверяется два раза: до и после решения.

Поиск приближенного решения в методе Лэнд и Дойг

В заключение этого раздела рассмотрим вопрос поиска приближенного решения задач ЛЦП методом Лэнд и Дойг.

Предположим, что Vк - это максимальная верхняя граница, известная к шагу "к" работы алгоритма.

Допустим, на этом шаге решается некоторая задача ЛП , и эта задача имеет оптимальное целочисленное решение Xk, доставляющее целевой функции значение Zk . Тогда Xk считается "хорошим", почти оптимальным решением, если имеет место:

  , где  - заданная точность решения, например,  =  0.01

Пример ( метод Лэнд и Дойг)

Дана оптимальная симплекс-таблица некоторой задачи, которая решается методом ветвей и границ:

Баз.	Сбаз	А0	1	3	0	0
			А1	А2	А3	А4
А1	1	5/2	1	0	1/2	-1/2
А2	3	3	0	1	0	1
		23/2	0	0	1/2	5/2

Очевидно, что ветвление следует провести по переменной x₁.

Исходная задача ЛП

З2

З1

Исходная задача ЛП

Исходная задача ЛП

x1  2

x1  3

Для того, чтобы определить, по какой ветви следует идти (какая из двух задач З1 и З2 должна решаться в первую очередь), найдем штрафы сверху и снизу.

З1: = - штраф сверху

З2: = - штраф снизу

Ввиду того, что штраф снизу меньше, чем сверху, в первую очередь следует решать задачу З2, которая получается из исходной задачи добавлением ограничения:

x₁  [x₁₀] = [5/2] = 2

Как технически осуществить решение задачи З2 ? Ведь исходной задачи нет. Есть только оптимальная симплекс-таблица, в которой записано решение исходной задачи.

Здесь используется следующий прием.

В первой строке симплекс-таблицы записано уравнение:

x₁ = x₁₀ - или x₁ = 5/2 - (1/2)x₃+(1/2)x₄ .

Учитывая, что дополнительное ограничение имеет вид x₁  2, его можно записать следующим образом:

x₁ = 5/2 - (1/2)x₃+(1/2)x₄  2 . Отсюда:

 - (1/2)x₃+(1/2)x₄  -1/2 .

Придадим этому ограничению - нестрогому неравенству форму ограничения - уравнения, путем введения в правую часть дополнительной (неотрицательной) переменной x₅ :

(1/2)x₃+(1/2)x₄ + x₅ = -1/2 .

Теперь можно воспользоваться оптимальной симплекс-таблицей исходной задачи. Добавив в эту таблицу новую строку, соответствующую этому ограничению, и один столбец, можно получить исходную симплекс-таблицу для решения задачи З2 :

Баз.	Сбаз	А0	1	3	0	0	0
			А1	А2	А3	А4	А5
А1	1	5/2	1	0	1/2	-1/2	0
А2	3	3	0	1	0	1	0
А5	0	-1/2 1	0 0	0 0	-1/2 1	1/2 -1	1 -2
		23/2	0	0	1/2	5/2	0
А1	1	2
А2	3	3	Эту часть можно не считать
А3	0	1
		11	 Получен рекорд

Получено оптимальное решение задачи З2 . Заносим эту задачу в список.

Начинается решение задачи З1, которая получается из исходной задачи путем введения дополнительного ограничения x₃  3.

Штраф сверху известен:

=.

То есть, самое большое значение ЦФ, которое может быть получено, это 23/2 - 5/2 =9.

Но в списке уже есть задача с целочисленным решением и лучшим (большим) оптимальным значением ЦФ (задача З2). Следовательно, задача З1 бесперспективна: ее не следует решать и заносить в список задач.

Теперь в списке есть единственная задача с целочисленным решением (задача З2). Следовательно, получено оптимальное решение исходной задачи:

Z_опт= 11, X_опт=(2,3).