Метод потенциалов

Это – точный метод решения транспортной задачи. Точный, а, следовательно, дорогой. Своим обоснованием метод потенциалов обязан теории двойственности в линейном программировании.

Небольшое отступление. В первом разделе курса были рассмотрены математические модели взаимно-двойственных задач. В частности, рассматривалась пара задач.



Относительно этой пары. Здесь также работают теоремы двойственности. В частности, работает вторая теорема, формулировку которой следует напомнить.

Пусть x^*=()– некоторое допустимое решение прямой задачи, аy^*=()– допустимое решение двойственной задачи. Необходимым и достаточным условием того, что эти решения являются оптимальными, является выполнение всех приведенных ниже равенств:

для всех .

Нас будет интересовать только одна сторона этого утверждения, а именно.

Если нестрогие неравенства двойственной задачи, соответствующие базисным переменным опорного решения прямой задачи при подстановке координат решения двойственной задачи обратятся в строгие равенства, то эти решения – оптимальные.

На этом, собственно, и построен метод потенциалов.

Использование второй теоремы двойственности для обоснования метода потенциалов

Запишем транспортную задачу в развернутом виде.

c11x11+…+c1nx1n	+	c21x21+…+c2nx2n	+…+	cm1xm1+…+cmnxmn	 min
x11+…….+x1n					=a1u1
		x21+…….+x2n			=a2u2
…………………………………………………………………………
				xm1+…….+xmn	=amum
x11		+x21		+xm1	=b1v1
x12		+x22		+xm2	=b2v2
…………………………………………………………………………
x1n		+x2n		+xmn	=bnvn
xij  0  (,)

Каждому из ограничений первой группы (i-му ограничению) поставим в соответствие переменнуюu_i (). Назовем ее "потенциалом строки".

Каждому из ограничений второй группы (j-му ограничению) поставим в соответствие переменнуюv_j (). Назовем ее "потенциалом столбца"

Эти же обозначения используем при построении двойственной задачи.

,

, (). (*)

Предположим, что - опорный план прямой задачи, а- некоторый план двойственной задачи.

Из второй теоремы двойственности следует, что если для всех базисныхпеременных решенияимеет место:

, (1)

а для свободныхпеременных этого решения выполняется:

, (2)

то и- оптимальные решения соответствующих задач.

Теперь представим себе, что мы имеем некоторый опорный план прямой задачи .

А что, если для этого плана попытаться искусственно сконструировать план двойственной задачи, а заодно и проверить, выполняются ли условия второй теоремы двойственности?

В этом и заключается центральная идея метода потенциалов.

Итак, начинаем это конструирование. Известно, какие переменные в решении являются базисными (заполненные клетки таблицы). Для заполненных клеток должны выполняться соотношения (1):.

Допустим, что эти соотношения выполняются. Попытаемся найти компоненты решения. Что любопытно: всего уравненийm+n-1–(количество заполненных клеток), а количество неизвестныхm+n. Следовательно, чтобы решить систему уравнений, нужно зафиксировать одну из неизвестных, придав ей конкретное значение (например, положив). Остальные определятся однозначно.

Теперь имеем компоненты решения (пока это – просто вектор) , причем условия (1) выполняются автоматически.

Проверим выполнение условий (2). Для каждой свободной переменной (не заполненной клетки) должно выполняться

.

Эта проверка в методе потенциалов сводится к вычислению т.н. "косвенных стоимостей":

,

и к анализу знаков полученных величин.

Теперь, если оказалось, что все (или, что эквивалентно,), то полностью выполнены условия второй теоремы, и решение- оптимальное!

В противном случае (существует ) решениене является оптимальным, а построенное нами "решение"- вообще не допустимое!

Итак, способ проверки любого опорного решения транспортной задачи на оптимальность есть.

Пример.

Проверим на оптимальность решение, полученное методом Фогеля.

Табл. 4

	v1	v2	v3	v4
u1	10	0 15	20	11 0
u2	12	7	9 15	20 10
u3	0 5	14	16	18 0

По заполненным клеткам составим и решим систему уравнений:

u₁+ v₂=0 u₁=0 v₂=0 После этого по свободным

u₁+ v₄=11 u₁=0 v₄=11 клеткам рассчитаем косвен-

u₂+ v₃=9 u₂=9 v₃=0 ные стоимости.

u₂+ v₄=20 v₄=11 u₂=9

u₃+ v₁=0 u₃=7 v₁=-7

u₃+ v₄=18 v₄=11 u₃=7

	-7	0	0	11
0	10	0 15	20	11 0
9	12	7	9 15	20 10
7	0 5	14	16	18 0

E₁₁=10-(0-7)=17, E₁₃=20-(0+0)=20, E₂₁=12-(9-7)=10

E₂₂=7-(9+0)= -2!, E₃₂=14-(7+0)=7, E₃₃=16-(7+0)=9.

Решение не оптимальное, т.к. E₂₂=-2 < 0.

Рассмотрим теперь вопрос перехода к новому, лучшему опорному решению в методе потенциалов.