Метод плавающих зон

Метод используется для приближенного решения транспортной задачи повышенной размерности. Полученный план близок к оптимальному.

МНС достаточно "прямолинейно" учитывает стоимости перевозок: на каждом шаге выбирается самый дешевый маршрут, причем, последствия принятого решения игнорируются.

Метод Фогеля как бы "заглядывает" на один шаг вперед. Использование механизма штрафов – это, по существу, попытка оценить важность маршрута с позиции того, каковы будут затраты, связанные с последующей загрузкой соседнего, ближайшего по стоимости маршрута.

Метод плавающих зон при принятии решений о загрузке маршрутов учитывает не только стоимости перевозок, но и объемы продукции как выпускаемые в пунктах производства, так и потребляемые в пунктах потребления. Идея метода сводится к следующему.

Независимо от содержательной постановки задачи, стоимость перевозки единицы продукции из пункта A_iв пунктB_j рассматривается, как расстояние между этими пунктами.

В этой связи, всю территорию, которая обслуживается пунктами производства, можно условно разбить на зоны, в которые входят пункты потребления по принципу минимального расстояния до соответствующих пунктов производства.

Пункт потребления B_j() “попадает” в зонуA_iили, просто, вi-ю зону (), если.

Обозначим через Q_iподмножество номеров пунктов потребления, относящихся к вi-й зоне (). При этом будем считать, что:

Суммарный объем потребления пунктов, находящихся в i-й зоне, составляет:

Очевидно, что спрос объектов i-й зоны () может быть удовлетворенi-м пунктом производства только в том случае, если.

В противном случае   i-я   зона считается "перегруженной":.

Что делать, если i-я   зона перегружена? Прежде всего, необходимо решить, какие объекты следует закрепить заi-м пунктом производства.

В методе плавающих зон этот вопрос решается с использованием специального механизма "приоритетов", которые вычисляются точно так же, как штрафы столбцов в методе Фогеля:

, ().

Здесь - транспортные издержки, связанные с перевозкой единицы продукции вj-й   пункт потребления из ближайшего пункта производства (из другой, ближайшей зоны).

"Закрепление" объектов за i-й зонойосуществляется в порядке не возрастания приоритетов – до тех пор, пока не будет исчерпан весь объем производства этой зоны.

Оставшиеся неудовлетворенными объекты   i-й  зоны вновь подключаются к массиву нерассмотренных объектов.

Если спрос некоторого объекта удовлетворен частично, этот объект также подключается к массиву нерассмотренных объектов с объемом потребления, равнымнехватке.

После того, как объем производства перегруженной зоны полностью исчерпывается, соответствующий пункт производства исключается из рассмотрения – просто вычеркивается соответствующая строка таблицы.

Процедура закрепления объектов выполняется только для перегруженных зон! Если таких зон нет, алгоритм не работает – нужно переключиться, например, на МНС.

Итак, алгоритм сводится к поиску перегруженных зон и закреплению за ними объектов. Затем такие зоны исключаются, и решается, по существу, новая задача – для оставшихся пунктов производства и пунктов потребления, потребности которых не удовлетворены.

При этом образуются новые зоны, т.е. границы зон изменяются в процессе решения: «зоны плавают».

Алгоритм метода плавающих зон

Шаг 1. Распределение объектов по зонам.

Шаг 2. Если не вычеркнута зона одна, то эта зона не может быть перегружена, т.к. имеет место закрытая транспортная задача. Объем производства этой зоны распределяется в соответствии с потребностями.КОНЕЦ. Иначе -поиск перегруженной зоны. Если такой зоны нет,КОНЕЦ: план нужно искать другим методом, например, МНС.

Шаг 3. Вычисление приоритетов для объектов перегруженной зоны.

Шаг 4. Закрепление объектов за пунктом производства перегруженной зоны в порядке не возрастания приоритетов до исчерпания всего объема производства. В процессе закрепления объектов выполняются следующие действия:

1. Если потребность очередного объекта удовлетворена, а запас зоны не израсходован, объект вычеркивается. Переход к следующему (в порядке не возрастания приоритетов) объекту.

2. Если потребность очередного объекта удовлетворена частично, а запас исчерпан, зона (пункт производства) вычеркивается. Очередной объект остается с объемом потребления, равным нехватке. Выполняетсяшаг1.

3. Если потребность очередного объекта полностью удовлетворена, а объем производства зоны исчерпан, зона вычеркивается, а объект остается с нулевой потребностью. Выполняетсяшаг1.

Табл. 1

	1	2	3	4
1	10	0 15	20	11	15
2	12	7	9	20	25
3	0	14	16	18	5
bi	5	15 0	15	10
	3	1	2	1		зоны
		7		7		приоритеты

1. Разбили объекты по зонам.

2. Начинаем с первой зоны (в нее вошли объекты 2, 4): b₂+b₄=15+10=25 >a₁ =15.Зона перегружена!

3. Вычисляем приоритеты объектов 2 и 4: P₂=7-0=7; P₄=18-11= =7, т.е. в зону 1 можно включить как второй, так и четвертый объект. Включаем второй. Потребность=15, запас=15.

4. Принимаем   x₁₂=15.  Исключаем зону 1, авторой объект оставляем с нулевой потребностью.

Табл. 2

	1	2	3	4
1	10	0 15	20	11	15
2	12	7	9	20	25
3	0 5	14	16	18	5
bi	5 0	0	15	10
	3	2	2	3		зоны
	12			2		приоритеты

1. Разбили объекты по зонам.

2. Начинаем со второй зоны (в нее вошли объекты 2,3): b₂+b₃=0+15=15 <a₂ =25.Зона не перегружена! Рассматриваем третью зону (объекты 1,4):b₁+b₄=5+10=15>a₃ =5.Зона перегружена!

3. Вычисляем приоритеты объектов 1 и 4: P₁=12-0=12; P₄=20-18= 2. В зону 3 включаем первый объект. Потребность=5, запас=5.

4. Принимаем   x₃₁=5.Исключаем зону 3, апервый объект оставляем с нулевой потребностью.

Табл. 3

	1	2	3	4
1	10	0 15	20	11	15
2	12 0	7 0	9 15	20 10	25
3	0 5	14	16	18	5
bi	0	0	15	10

Осталась одна зона. Т.е. распределять объекты по зонам не нужно. Распределяем объем производства 25 ед. между 1,2,3,4 объектами в соответствии с потребностью этих объектов.

Имеем Z=335. Как и в методе Фогеля.