Свойства закрытой транспортной задачи

Закрытая транспортная задача обладает рядом свойств, которые позволяют решать эту задачу гораздо эффективнее, чем обычным симплекс-методом.

1. Задача в любом случае допустима и имеет решение.

Допустимость, например, вытекает из того, что решение- удовлетворяет всем ограничениям задачи.

Действительно:

,

Тот же факт, что задача имеет оптимальное решение, вытекает из ограниченности допустимого множества. Действительно:

.

2. Ранг матрицы системы ограничений-уравнений r=m+n-1

Ниже приведена матрица, составленная из коэффициентов левой части системы ограничений.

x₁₁x₁₂…x_1n x₂₁x₂₂…x_2n ……… x_m1x_m2…x_mn

11……1 00……0 …………00……0 -1

00……0 11……1 …………00……0 -2

………………………………………………………………

00……0 00……0 …………11……1 -m

10……0 10……0 …………10……0 -1

01……0 01……0 …………01……0 -2

………………………………………………………………

00……1 00……1 …………00……1 -n

Любая строка этой матрицы линейно выражается через остальные строки, значит r <m+n.

Любые m+n-1строки линейно независимы. Можно показать, что при использовании метода Жордана-Гаусса левая и правая части одного уравнения обратятся в ноль.

2. Каждый вектор-столбец этой матрицы имеет точно две единичные координаты. Остальные координаты – нулевые.

3. Если все запасы и все потребности транспортной задачи выражены целыми числами, то задача имеет оптимальное целочисленное решение.

Построение исходного опорного решения транспортной задачи

Транспортная задача – это задача ЛП. Как и в случае симплекс-метода, ее решение всегда начинается с некоторого опорного решения (опорного плана).

Поэтому здесь также будем говорить о базисных и о свободных переменных. Об опорных планах (ненулевым координатам которых соответствует система линейно-независимых векторов). Наконец, о вырожденных решениях (некоторые базисные переменные принимают нулевое значение).

Запишем в таблицу условия задачи.

	1		j		n	Запасы
1	c11		c1j		c1n	a1
i	ci1		cij		cin	ai
m	cm1		cmj		cmn	am
Потребности	b1		bj		bn	d=

Сразу следует обратить внимание на компактность этой таблицы по сравнению с обычной симплекс-таблицей. (Здесь mnэлементов, там – (m+n)mn).

Клетки этой таблицы будем последовательно заполнять координатами строящегося опорного решения: .

При этом, координату будем записывать в соответствующую клетку только в том случае, если- базисная переменная. Такую клетку будем называть "занятой". Клетки, соответствующие свободным переменным, будем называть "незанятыми" – их заполнять не будем.

Если базисная переменная в решении принимает нулевое значение (вырожденное решение), соответствующую клетку все равно будем считать занятой и записывать в нее "0".

Теперь рассмотрим 4 метода построения допустимого решения транспортной задачи. Эти методы объединяет общая идея:

1. Шаг. Поиск парыiиj.

2. Шаг. Заполнение клетки (ij) значениемmin{a_i,b_j} – максимально возможная нагрузка соответствующего маршрута.

3. Шаг. Вычеркивание пункта производства, исчерпавшего свои возможности или пункта потребления, потребности которого удовлетворены полностью.

4. Шаг. Повторение шага 1 (до тех пор, пока все возможности будут исчерпаны, а все потребности – удовлетворены).