Распределительный метод решения транспортной задачи

Наиболее трудоемким этапом в методе потенциалов является этап построения цикла пересчета для переменной, которая имеет отрицательную косвенную стоимость.

Если бы не трудоемкость этого этапа, можно было бы поступить по-другому: сначала для свободной переменной построить цикл пересчета, а после этого принять решение, следует ли эту переменную вводить в состав базисных переменных нового опорного решения или нет. То есть, вообще отказаться от вычисления потенциалов.

На этом построен распределительный метод решения транспортной задачи.

Пусть имеется некоторое опорное решение и - свободная переменная, а- базисная переменная.

Построим цикл пересчета для .

Что касается , возможны следующие ситуации.

1. соответствует положительной вершине;

2. соответствует отрицательной вершине;

3. в цикл не входит.

1. Если соответствуетположительной вершине, то при переходе к новому опорному решениюувеличитсяна ту же величину, что и. То есть, если выразить базисные переменные через свободные, переменнаявойдет в выражение дляс коэффициентом «+1»;

2. Если соответствуетотрицательной вершине, то при переходе к новому опорному решениюуменьшитсяна ту же величину, на которую увеличится. То есть, если выразить базисные переменные через свободные, переменнаявойдет в выражение дляс коэффициентом "-1";

3. Если не входит в цикл пересчета, то при переходе к новому опорному решению значениене изменится. То есть, если выразить базисные переменные через свободные, переменнаявойдет в выражение дляс коэффициентом "0".

Схематично эти ситуации можно представить следующим образом:

1. = +1+…….

2. = -1+…….

3. =   0+…….

Выразим теперь ЦФ через свободные переменные.

Как подсчитать, с каким коэффициентом переменная войдет в ЦФ?

Она войдет в соответствующее выражение непосредственно (с коэффициентом ) и через посредство тех и только тех базисных переменных, которые входят в цикл пересчета.

Но входит в выражение длятолько с одним из двух коэффициентов:   +1   или   -1 , в зависимости от того, является ли вершинаположительной или отрицательной. Авходит в ЦФ с коэффициентом. То есть, посредством(входящей в цикл) переменнаявойдет в ЦФ с коэффициентом   +или  -в зависимости от того, является ли вершинаположительной или отрицательной.

Схематично эту ситуацию можно представить следующим образом:

Z=++…

=+…

Z=+(+…)+…

Z=+…

Как видно из этого выражения, в круглых скобках записана алгебраическая сумма всех стоимостей, которым соответствуют вершинам цикла пересчета.

Таким образом, коэффициент, с которым свободная переменная входит в ЦФ, равен алгебраической сумме всех стоимостей, соответствующих вершинам цикла, включая вершину, в которой находится свободная переменная.

То есть, косвенную стоимость свободной переменной можно определить не по формуле, а другим путем. Нужно построить для этой переменной цикл пересчета и подсчитать алгебраическую сумму всех стоимостей, которым соответствуют вершинам цикла пересчета.

Алгоритм распределительного метода

Имеется некоторое опорное решение.

Шаг 1. Для данного опорного решения организуем последовательный просмотр списка свободных клеток (переменных).

Шаг 2. Для очередной свободной клетки (пусть это будет), строим цикл пересчета и подсчитываем алгебраическую сумму стоимостей по всем вершинам цикла ().

Шаг 3. Если< 0, выполняемшаг 4.  В противном случае проверяем, все ли свободные клетки просмотрены. Если да, то очередное решениеоптимальное.Конец. В противном случае выполняемшаг 2.

Шаг 4. Переменнуювводим в состав базисных переменных. Для этого среди отрицательных вершин находим вершину с минимальным значением соответствующей базисной переменной. Пусть это будет. Производим сдвиг по циклу пересчета. Переменнаявыводится из состава базисных переменных. Имеем новое опорное решение. Выполняемшаг 1.

Основной недостаток метода – большое количество циклов пересчета, которые приходится строить на каждой итерации. Достоинство – не нужно специально вычислять потенциалы строк и столбцов.

Если нет эффективной процедуры построения цикла пересчета, предпочтение отдается методу потенциалов.

Пример. Дана транспортная задача и известно ее опорное решение. Определить косвенные стоимости переменных x₃₂,x₃₄, x₄₆.

	15 50	20	25	15	10	10 10	20
	5 20	5	1 30	4	2 50	1	15
E32=0	3	5	5	1	4	5 40	2
	20	7 100	5	1 20	3	5	4
	20	1 40	2 30	3	4	6	6 100

	15 50	20	25	15	10	10 10	20
	5 20	5	1 30	4	2 50	1	15
E34=2	3	5	5	1	4	5 40	2
	20	7 100	5	1 20	3	5	4
	20	1 40	2 30	3	4	6	6 100

	15 50	20	25	15	10	10 10	20
	5 20	5	1 30	4	2 50	1	15
E46=-2	3	5	5	1	4	5 40	2
	20	7 100	5	1 20	3	5	4
	20	1 40	2 30	3	4	6	6 100