Выводы по методу потенциалов

Метод потенциалов дает нам эффективное средство подсчета косвенных стоимостей незанятых клеток таблицы – свободных переменных. Как уже отмечалось, косвенная стоимость-это коэффициент, с которым свободная переменная   x_ij  входит в ЦФ, если все базисные переменные выразить через свободные. В ЛП – это оценка соответствующего свободного вектора (правда, взятая с обратным знаком).

Для вычисления оценок в симплекс-методе необходимо знать коэффициенты разложения соответствующих векторов или, как в МСМ, обратную базисную матрицу текущего опорного решения.

Таким образом, первой особенностью транспортной задачи является весьма "экономная" процедура вычисления оценок – ни о какой обратной матрице речи не идет.

Второе. После принятия решения о том, какую переменную нужно вводить в состав базисных переменных, вопрос о том, какую переменную выводить из состава базисных переменных решается весьма своеобразно – с использованием цикла пересчета. Здесь остаются неясности, часть из которых необходимо снять. Прежде всего, нужно строго определить понятие "цикл пересчета".

Итак, имеем матрицу перевозок (или транспортную таблицу). Определение цикла пересчета дадим в два этапа:

1. Определение цикла в матрице;

2. Определение цикла пересчета.

Определение цикла в матрице

Циклом в матрице назовем ломаную, вершины которой расположены в клетках, а звенья лежат вдоль строк и столбцов матрицы. При этом ломаная должна удовлетворять следующим условиям:

1. Ломаная должна быть связнойв том смысле, что из одной ее вершины можно попасть в любую другую вершину по звеньям ломаной;

2. В каждой вершине ломаной встречаются ровно два звена, причем одно из них располагается по строке, а другое – по столбцу².

В случае самопересечения, точка пересечения не является вершиной!

Определение цикла пересчета

Циклом пересчета данной свободной клетки назовем цикл, однаиз вершин которого находится в этой свободной клетке, авсе остальные– в занятых.

Теорема о цикле пересчета

Пусть в матрице перевозок записано некоторое опорное решение. Теорема формулируется следующим образом.

Каков бы ни был состав свободных и базисных переменных любого опорного решения транспортной задачи, в матрице перевозок не существует цикла, все вершины которого находятся в базисных клетках.

Доказательство

Запишем систему ограничений транспортной задачи в следующей форме:

, (*)

где ,.

Пусть - опорное решение транспортной задачи.

Введем два подмножества   итакие, что:

( i, j),  если- базисная переменная;

( i, j),  если- свободная переменная.

Тогда, очевидно, будет иметь место:

(**)

Пусть, от противного, существует цикл, все вершины которого находятся в заполненных клетках. При этом - подмножество базисных переменных, входящих в цикл пересчета.

Придадим любой переменной ( i, j)'некоторое приращение >0  и произведем сдвиг по циклу пересчета. Получим новое решение системы (*), причем:

. (***)

Ввиду того, что   ,получено новое разложение вектора по тому же базису!А этого не может быть, так как разложение любого вектора по базисуединственно. Следовательно, предположение о том, что существует цикл, все вершины которого находятся в заполненных клетках, оказалось неверным.

Замечание. Казалось бы, приведенный пример опровергает утверждение теоремы. Решение, записанное в таблице, допустимое. А цикл включаеттолько заполненныеклетки!

	20		20	40
50		10		60
	20		20	40
50	40	10	40	140

Следствием этой теоремы является утверждение о единственности цикла пересчета. Ниже приведен фрагмент конструктивного доказательства этого утвердждения.

Пусть, например, для некоторой свободной клетки существуют два цикла пересчета:

Цикл пересчета может не включать все базисные переменные (занятые клетки). Те из базисных переменных, которые входят в цикл в качестве положительных вершин, при переходе к новому опорному решению увеличивают свое значение на одну и ту же величину. Базисные переменные, соответствующие отрицательным вершинам, при переходе к новому опорному решению уменьшают свое значение на одну и ту же величину. Базисные переменные, не входящие в цикл пересчета, при переходе к новому опорному решению сохраняют свое прежнее значение.