29

1 тр задача.doc1 тр задача.doc

Транспортная задача

Многие классы широко распространенных задач ЛП обладают особенностями, которые выражаются в специфическом строении матрицы коэффициентов системы ограничений и ЦФ. Эти особенности позволяют существенно упростить общий метод решения именно этих задач. При этом ускоряется процесс получения оптимального решения.

Ярким примером задачи со специальной структурой является т.н. «Транспортная задача».

Содержательно, транспортная задача имеет следующую постановку.

Имеется  m  пунктов производства некоторого однородного продукта (например, угля, цемента, и т.д.).

Обозначим эти пункты А₁, А₂,…, А_m. (Эти пункты иногда называются «станциями отправления»).

Имеется, также, n пунктов потребления этого продукта B₁, B₂,…,B_n. (Эти пункты иногда называются «станциями назначения»).

В пункте А_i() сосредоточеноa_i единиц продукции.

Потребность пункта B_j() составляетb_jединиц.

Известна стоимость перевозки единицы продукции из пункта А_i() в пункт B_j() –с_ij .

Встречные перевозки запрещены, поэтому все x_ij 0.

В этой задаче требуется составить такой план перевозки продукции из пунктов производства в пункты потребления, который удовлетворяет следующим требованиям:

1. Суммарная стоимость всех перевозок была минимальной;

2. Вся продукция из всех пунктов производства должна быть вывезена;

3. Потребности всех пунктов потребления должны быть удовлетворены, а именно, в каждый пункт потребления должно быть завезено столько продукции, сколько ему требуется – не больше и не меньше.

Начнем строить модель.

Обозначимx_ij  - объем перевозки продукции из пункта А_i() в пункт B_j().

Все данные занесем в таблицу.

Транспортная таблица

j i	1	2		n	Запасы
1	c11 x11	c12 x12		c1n x1n	a1
2	c21 x21	c22 x22		c1n x2n	a2
m	cm1 xm1	cm2 xm2		cmn xmn	am
Потребности	b1	b2		bn	d

А теперь построим модель.

, (1)

Вывоз продукции , (2)

Ввоз продукции , (3)

. (4)

Естественно, что в такой трактовке задачи должно выполняться еще одно условие:

, (5)

-иначе задача не будет иметь решения.

Задачу (1)-(5) принято называть «закрытой транспортной задачей». При этом, если условие (5) выполняется, имеет место «сбалансированная транспортная модель».

Если условие (5) не выполняется, то, очевидно, в некоторых пунктах производства остается не вывезенная продукция или потребность в продукции некоторых пунктов потребления не удовлетворяется. Имеет место «открытая транспортная задача», для которой модель (1)-(4) не подходит.

Это – случай «несбалансированной транспортной модели»: возможности не соответствуют потребностям.

Как правило, в случае «дисбаланса» (), стремятся сбалансировать модель. Стремление выйти на закрытую транспортную задачу связано с тем, что эффективные методы решения предполагают ее сбалансированность.