Задача длп со свободными членами в числителе и знаменателе (Метод Чарнса и Купера)

Эта задача имеет вид:

Z=, (1)

, (2)

x_j  0, (j=1n). (3)

Кроме того, предполагается, что в области неотрицательных решений системы уравнений (2) имеет место .

Примем обозначение: . (*)

Введем новые переменные:

y_j=y₀x_j (j=1n), (**)

или .

Из (*) имеем: . Подставим в это выражение. Получим. Теперь исходная задача приобретает следующий вид:

,

,

,

Геометрическая интерпретация задачи

Рассмотрим случай двух переменных:

,

(i=1,2,...,m),

x₁,x₂ 0.

Будем считать, что в области допустимых решений (D) имеет место:d₀+ d₁x₁+ d₂x₂ 0.

Положим значение ЦФ равным некоторому числу h.То есть ЦФ будет принимать одно и то же значение во всех точках прямойили :

(с₀-hd₀)+(с₁-d₁ h)x₁+(с₂-d₂ h)x₂=0. (*)

Для того чтобы найти допустимые решения, на которых ЦФ принимает значение h, прямая должна иметь общие точки с многоугольником допустимых решений.

Начнем увеличивать параметр h. Увеличение этого параметра приведет к вращению прямой (*) вокруг некоторой точкилибо по, либо против часовой стрелки, в зависимости от сочетания параметровc_j , d_j(j=0,1,2).

Координаты точкиопределяются следующим образом:

,

.

x₂

x₁

Из геометрических соображений ясно, что, если допустимое множество ограничено, при некотором значении h=h^*прямая (*) станет опорной к допустимому множеству. При этом в точке (точках) касания будет достигнуто искомое оптимальное решение.

1Будет большой ошибкой, если этот случай считать случаем неограниченности ЦФ сверху. Здесь ЦФ ограничена сверху, но граница эта недостижима!

2Если посмотреть внимательно, в постановке этой задачи есть некоторые вопросы.