Сведение задачи дробно-линейного программирования к задаче лп
Итак, имеем задачу ДЛП:
Z=
,
(1)
,
(2)
xj 0, (j=1n). (3)
Кроме того, предполагается, что в области
неотрицательных решений системы
уравнений (2) имеет место
.
Замечание. Это предположение требует, чтобы имело место:
,
где
.
Примем
обозначение:
.
(*)
Кроме того, введем новые переменные:
yj=y0xj (j=1n), (**)
или
.
Из
(*) имеем:
.
Подставим в это выражение
.
Получим
.
Теперь исходная задача приобретает следующий вид:
,
,
,
Это - задача линейного программирования2. Решив эту задачу любым известных методов, всегда можно восстановить оптимальное решение исходной задачи (1)-(3).
Пример. Решить задачу ДЛП:
x1 -x3 =4,
x2 + x4=8,
xj 0,j=14.
Вводим
переменную
.
Производим замену переменных: yj = y0 xj.
Приходим к следующей эквивалентной задаче ЛП:
2y1+3y2 max,
y1 - y3 - 4y0 = 0,
y2 + y4 - 8y0 = 0,
y1 + y2 = 1,
yj 0,j=04.
Переходим к М-задаче (одновременно вектор A3делаем единичным базисным вектором, умножая на "-1" первое уравнение-ограничение)
2y1+3y2 - My5 max,
-y1 + y3 + 4y0 = 0,
y2 + y4 - 8y0 = 0,
y1 + y2 + y5 = 1,
yj 0,j=05.
Решим эту задачу, "для разнообразия" придав M конкретное "большое" значение 100.
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
0 |
-100 |
0 |
|
Баз |
Сбаз |
A 0 |
A 1 |
A 2 |
A 3 |
A 4 |
A 5 |
A 6 |
|
A 3 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
|
A 4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-8 |
|
A 5 |
-100 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Табл. 1 |
|
-100 |
-102 |
-103 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
0 |
-100 |
0 |
|
Баз |
Сбаз |
A 0 |
A 1 |
A 2 |
A 3 |
A 4 |
A 5 |
A 6 |
|
A 3 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
|
A2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-8 |
|
A 5 |
-100 |
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
8 |
|
Табл. 2 |
|
-100 |
-102 |
0 |
0 |
103 |
0 |
-824 |
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
0 |
-100 |
0 |
|
Баз |
Сбаз |
A 0 |
A 1 |
A 2 |
A 3 |
A 4 |
A 5 |
A 6 |
|
A6 |
0 |
0 |
-1/4 |
0 |
1/4 |
0 |
0 |
1 |
|
A2 |
3 |
0 |
-2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
A 5 |
-100 |
1 |
3 |
0 |
-2 |
-1 |
1 |
0 |
|
Табл.3 |
|
-100 |
-308 |
0 |
206 |
103 |
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
0 |
-100 |
0 |
|
Баз |
Сбаз |
A 0 |
A 1 |
A 2 |
A 3 |
A 4 |
A 5 |
A 6 |
|
A6 |
0 |
1/12 |
0 |
0 |
1/12 |
-1/12 |
1/12 |
1 |
|
A2 |
3 |
2/3 |
0 |
1 |
2/3 |
1/3 |
2/3 |
0 |
|
A1 |
2 |
1/3 |
1 |
0 |
-2/3 |
-1/3 |
1/3 |
0 |
|
Табл.4 |
|
8/3 |
0 |
0 |
2/3 |
1/3 |
308/3 |
0 |
Решение эквивалентной задачи:
y1=1/3, y2=2/3, y0=y6=1/12; Zопт=8/3.
Решение исходной задачи:
x1=y1/y0=1/3:1/12=4;
x2=y2/y0=2/3:1/12=8;
Zопт=8/3.
Геометрическая интерпретация
|
x1 - x3 =4 |
|
x3 = x1 - 4 0 |
|
x2 + x4 =8 |
|
x4 = 8 - x2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 4; |
|
|
|
x2 8. |
Замечание.Zmin=2,
т.к. приx2=0
Z=
2.