1.9. Просторове квантування

Рух електрона в просторі і його положення характеризується трьома координатами, і є рухом з трьома степенями вільності. В сферичній системі координат ( , , ) відповідно до умов Зоммерфельда ми отримаємо три рівняння, які описуватимуть рух з трьома степенями вільності:

(1.54)

Тут - радіальне квантове число

- екваторіальне квантове число

- широтне квантове число

Рис. 1.15

Тут кут між віссю Z і електроном (в точці М), який рухається по еліптичній орбіті АВ, яка складає кут з площиною (XOY).

Якщо на систему не діють зовнішні сили, то орбіта руху електрона буде нерухомою і плоскою. Визначимо величини інтегралів руху, які входять в рівняння (2.54). Вираз для кінетичної енергії має вигляд (для сферичної системи координат):

(1.55)

А повна енергія буде як сума кінетичної і потенціальної:

(1.56)

Тоді для величин імпульсів маємо:

(1.57)

Враховуючи, що без дії зовнішніх сил, повна енергія системи визначається головним квантовим числом, то отримаємо:

n=n_r+n_θ+n_ψ=n_r+n_φ (1.58)

n_θ+n_ψ=n_φ

В вираз повної енергії системи координата не входить, отже:

або

Тоді на основі третьої умови квантування в (1.54) маємо:

(1.59)

Величина являє собою проекцію повного моменту кількості руху електрона на вісь Z. Позначимо , тоді ;

Враховуючи, що та n_θ+n_ψ=n_φ, то значення квантового числа може бути в межах:

(1.60)

тобто приймає (2 n_φ+1) [ =0; 1; 2… ] значення.

- магнітне квантове число, так як воно визначає проекцію магнітного і механічного моментів на напрямок зовнішнього магнітного поля. Отримаємо ще більш значне виродження системи- і по і по =к( азимутальному).

Накладання магнітного поля знімає виродження по . Орбіти руху електрона з різним значенням будуть мати в такому випадку різні енергії. Визначимо орієнтації механічного моменту в магнітному полі:

Рис.1.16

1.10. Магнетон Бора

Електрон, що рухається по орбіті, еквівалентний контуру зі струмом. Сила цього струму і рівна заряду електрона е, помноженому на число його обертів в 1 секунду

(1.61)

А площа, охоплена струмом і, рівна площі еліпса S.

Для моменту кількості руху , який може бути визначений добутком маси електрона на подвоєну секторну швидкість , повинна виконуватись умова:

(1.62)

Звідси , К – азимут кв. число.

Але за другим законом Кеплера секторіальна швидкість =const = ,

Тоді:

(1.63)

Магнітний момент контуру зі струмом дорівнює:

Підставляючи отримані значення i та S маємо:

(1.64) , (1.65)

Це магнетон Бора – елементарний магнітний момент.

Магнітні моменти атомів, обумовлені орбітальним рухом електрона, повинні бути кратні елементарному магнітному моменту.

Для перевірки висновків теорії просторового квантування і експериментального визначення величини магнетона Бора був проведений дослід Штерна і Герлаха (1922р.).

Рис. 1.17

Ідея досліду. Якщо в неоднорідному магнітному полі напрямленому по осі х, розміщений магнітний диполь довжиною l , вісь якого утворює кут з напрямком поля, то сила (виштовхувальна), яка діє на диполь буде рівна:

(1.66)

Де - величина «магнітної маси», яка зосереджена на кожному з полюсів диполя, але , і тоді заміняючи l через магнітний момент диполя маємо:

(1.67)

Цей вираз буде справедливий і тоді, коли магнітний момент створюється не тільки «магнітними масами», а і струмом, який протікає по контуру, чи рухом електрона по орбіті атома.

О тже, якщо пропускати через таке неоднорідне поле атоми речовини, то вони повинні відхилятися від напрямку свого початкового руху, і це відхилення буде проходити по різним закономірностям з точки зору класичних і квантових уявлень.

Схема пристрою наступна.

У вакуумному балоні з пічки п випаровувалися атоми срібла. Частина атомів пролітала через діафрагми D1 і D2 без зіткнень по прямій лінії, далі через магнітне поле. Якщо поля немає, то вони конденсуються вузькою смужкою на пластинці М (випадок а згідно рис1.18.). При наявності поля (неоднорідного) відбувалося відхилення атомного пучка. Згідно класичним уявленням відхилення будуть любі по (1.67), де , тобто на пластинці повинна бути розмита широка смужка (суцільна і неперервна)

Рис.1.18

(випадок б).

Рис.1.19

По квантовій теорії площини орбіт атомів срібла, основним станом яких є S – стан, якому відповідає K=1, можуть орієнтуватися по відношенню до напрямку магнітного поля тільки трьома способами (m=-1;0;+1) і відповідно пучок повинен розпадатися на три окремих (випадок в). Експеримент дав тільки дві (випадок г) смужки, середньої смужки не було. Але наявність цих двох смужок чітко підтвердила правильність висновків теорії просторового квантування. Виміривши величину відхилення, знаючи і геометрію пристрою, υ та m атомів можна вирахувати .