3.4. Осевой (экваториальный) момент инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно данной оси называется сумма произведений элементарных площадей dA на квадрат их расстояния до данной оси, взятая по всей площади сечения. Размерность осевых моментов – длина4.
Осевые моменты относительно осей y и z равны
(3.6)
Для составных сечений
(3.7)
Величина осевого момента инерции всегда положительная и зависит от выбора координатных осей. При параллельном переносе координатных осей величина осевых моментов меняется следующим образом:
(3.8)
(3.9)
В случае если оси y1 и z1 проходят через центр тяжести сечения, то их статические моменты будут равны нулю и формулы существенно упростятся:
(3.10)
Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно его центральных осей.
Разобьём
площадь прямоугольника на элементарные
площадки
шириной b
и
высотой dy.
Тогда площадь элементарной площадки
будет равна
.
Подставляя dA в формулу осевого момента, получим
.
(3.11)
Рис. 3.3.
По
аналогии
.
Так же очевидно, что для всех фигур,
изображенных на рис. 3.3. осевые моменты
равны друг другу.
3.5. Полярный момент инерции
Полярным
моментом инерции сечения относительно
данной точки (полюс О) называется сумма
произведений элементарных площадей dA
на квадраты их расстояний до этой точки,
взятая по всей площади сечения.
Следовательно,
.
Величина полярного момента всегда
положительная и зависит от выбора
координатных осей. Размерность полярного
момента – длина4.
Полярный
момент инерции
равен сумме осевых моментов инерции
и
относительно любой пары взаимно
перпендикулярных осей y
и
z,
проходящих через полюс О.
Действительно (см. рис. 3.4):
и
.
(3.12)
Так как осевой момент не зависит от поворота осей относительно полюса, то следствием этого является постоянство суммы осевых моментов инерции при повороте осей относительно полюса.
Определим
полярный момент инерции круга. Для этого
разобьём его на бесконечно тонкие кольца
толщиной
и радиусом
;
площадь такого кольца
.
Подставляем значение dA
в
(3.11) и, интегрируя, получим
.
(3.13)
Рис. 3.4
Так
как осевые моменты инерции относительно
любых центральных осей для круга равны
между собой в силу симметрии, то
.
3.6. Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат называется сумма произведений элементарных площадей dА на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А:
.
(3.14)
Размерность центробежного момента инерции – длина4. Величина центробежного момента зависит от выбора координатных осей и может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Для сечений, имеющих хотя бы одну ось симметрии, центробежный момент инерции равен нулю, так как центробежные моменты полусечений, расположенных по разные стороны от оси симметрии, равны между собой, но отличаются знаками. Координатные оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными осями. Если при этом полюс координатных осей совпадает с центром тяжести сечения, то такие оси называются главными центральными осями. Относительно главных осей осевые моменты принимают экстремальные значения. Относительно одной − максимум, относительно другой – минимум.
Формула параллельного переноса осей
В
случае, если оси y
и
z
являются центральными формула упрощается:
.
Если хотя бы одна из центральных осей
является осью симметрии, то
