Лекция № 14 энергетические способы определения пермещений
14.1. Теорема Клайперона.
Наиболее общим методом определения перемещений в линейных упругих системах является энергетический метод. В основу этого метода положено условие равенства работы внешних сил, приложенных к линейно-деформируемой упругой системе, и энергии деформации системы. Работа статически приложенной внешней силы, как известно, определяется теоремой Клайперона:
В линейных упругих системах работа статически приложенных внешних сил на перемещениях в направлении их действия равна полусумме произведений окончательных значений каждой силы и соответствующего ей перемещения.
Эта работа внешних сил равна по величине и противоположна по знаку работе внутренних сил, являющихся источником потенциальной энергии (U), которой запасается система. Следовательно, можно записать
(14.1)
В
этой формуле под
следует понимать обобщенную силу, а под
- соответствующее ей обобщенное
перемещение.
14.2. Потенциальная энергия в общем случае нагружения бруса
В
общем случае нагружения в поперечном
сечении бруса возникает шесть внутренних
силовых фактора: нормальная сила N,
перерезывающие силы
,
крутящий момент
,
а также изгибающие моменты
относительно главных центральных осей
y
и z.
Ранее
нами было показано, что при статическом
растяжении или сжатии потенциальная
энергия упругой деформации равняется:
.
В
случае кручения
.
При
изгибе потенциальная энергия упругой
деформации от изгибающих моментов
равна:
и
.
Потенциальная
энергия от перерезывающих сил для балки
и
,
где
- коэффициенты, зависящие от формы
поперечного сечения балки.
Суммируя теперь составляющие потенциальной энергии от всех внутренних усилий, найдем полную энергию деформации
(14.2)
Как правило, последними двумя слагаемыми уравнения (14.2) пренебрегают, так как их вклад в потенциальную энергию упругой деформации не превышает 2%.
14.3.Теорема Кастильяно
Рассмотрим
упругую систему, нагруженную произвольной
системой сил
и закрепленную так, что ее смещение как
единого целого исключено (рис. 14.1).
Потенциальную энергию системы в этом
состоянии обозначим U.
Рис. 14.1
Дадим
одной из сил, например,
бесконечно малое приращение
.
При этом потенциальная энергия также
получит приращение и станет равна
(14.3)
Дадим одной из сил, например, бесконечно малое приращение . При этом потенциальная энергия также получит приращение и станет равна
(14.3)
Изменим
порядок приложения сил. Вначале приложим
лишь одну силу
.
Вследствие деформации системы точка
приложения этой силы в направлении ее
действия получит некоторое перемещение,
которое обозначим через
.
Работа силы на указанном перемещении
в соответствии с теоремой Клайперона
будет
.
Теперь приложим всю систему сил
.
В отсутствии силы
потенциальная энергия системы была
равна U.
Но так как есть сила
,
то эта сила совершит дополнительную
работу на перемещении
точки приложения силы
в ее направлении. Перемещение
вызвано всей системой внешних сил при
и, следовательно, дополнительная работа
силы
будет равно произведению
.
В итоге потенциальная энергия при втором
способе нагружения выразится суммой
(14.4)
Поскольку конечное состояние системы при первом и втором способе нагружения одно и то же, мы можем приравнять сумму (14.4) правой части формулы (14.3). Получим
.
Пренебрегая первым слагаемым в правой части этого равенства как бесконечно малой высшего порядка малости, окончательно получим
(14.5)
Полученный вывод носит названия теоремы Кастельяно:
Частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы в направлении ее действия.
Пример 1. Пользуясь теоремой Кастельяно, определить удлинение консоли (рис. 14.3 а) и ее прогиб (рис. 14.3 б) от действия силы F, приложенной на ее конце. Поперечное сечение консоли считать постоянным по ее длине.
Решение.
В первом случае консоль испытывает
растяжение. Потенциальная энергия
растяжения вычисляется по формуле
.
Частная производная от U
по силе F
равна
и мы пришли к известной нам ранее формуле.
Во
втором случае консоль испытывает изгиб
от изгибающего момента
и перерезывающей силы
.
Пренебрегая вкладом перерезывающей
силы в потенциальную энергию, можно
записать
.
Вычисляем частную производную от U по силе F, находим прогиб
.