4.2. Напряженное состояние

Напряженным состоянием в точке называется совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

При изучении напряженного состояния в какой-либо точке, мысленно вырезают в окрестностях этой точки элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy и dz (см. рис. 4.2). Ввиду малости параллелепипеда можно считать, что напряженное состояние во всех его точках одинаково и совпадает с напряженным состоянием рассматриваемой точки. Из девяти компонентов напряженного состояния независимыми являются только шесть. Действительно, из равенства нулю суммы моментов относительно оси х всех сил, действующих на элементарный параллелепипед, получим

Составляя аналогичные уравнения относительно осей y и z получим в итоге

(4.4)

Эти формулы называются законом парности касательных напряжений, из которого можно сделать вывод, что касательные напряжения на любых взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по направлению. Касательные напряжения всегда направлены либо к общему ребру двух взаимно перпендикулярных граней или от него. На противоположных гранях касательные напряжения всегда равны по величине и противоположны по направлению.

В теории упругости строго доказывается, что в любой точке нагруженного тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный так, что все его грани (площадки) будут свободны от касательных напряжений. Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а действующие на них нормальные напряжения – главными напряжениями в точке. Обычно принимается, что . Напряжение является алгебраически наибольшим, а − наименьшим из всех возможных нормальных напряжений, действующих на площадках, проходящих через рассматриваемую точку.

Различают линейное (или одноосное), плоское (или двухосное) и объёмное (или трехосное) напряженные состояния в точке, в зависимости от того, испытывает ли элементарный параллелепипед растяжение (или сжатие) в направлении одной, двух или трех координатных осей.

4.3. Линейное напряженное состояние. Закон Гука

В условиях линейного напряженного состояния находится материал стержней на площадках, перпендикулярных продольной оси стержня и испытывающих растяжение или сжатие силами, действующими вдоль продольной оси стержня (рис. 4. 3).

Рис. 4.3

Обозначим площадь наклонной площадки . Тогда площадь вертикальной площадки будет равна ·cosα. В условиях равновесия параллелепипеда имеем:

1) 0, , (4.5)

(4.6)

Анализ формул (4.5) и (4.6) показывает, что значение напряжений на наклонных площадках и зависит от ориентации площадок, т. е. от ее угла наклона. При имеем На площадках, наклоненных под углом , имеем . На продольных площадках, при имеем На взаимно перпендикулярных площадках сумма нормальных напряжений – величина постоянная. Так на площадках с углами и эта величина , на площадках с углами и + эта величина .

Для упругих материалов английским ученым Робертом Гуком в 1676г. была открыта фундаментальная зависимость между силами и вызываемыми ими перемещениями. Он экспериментально вывел, что в большинстве случаев до определенного предела соблюдается линейное соотношение между удлинением стержня и вызвавшей его силой F:

или , (4.7)

где и с – соответственно податливость и жесткость стержня на растяжение – сжатие.

В современном виде закон Гука имеет вид

(4.8)

где - относительное продольное удлинение или относительная продольная деформация ;

Е – коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода или модулем Юнга.

Относительная деформация величина безразмерная, размерность модуля упругости – . По своему физическому смыслу модуль упругости − это напряжение, которое могло бы возникнуть в материале стержня, если бы его удалось растянуть без разрушения вдвое ( ). Для подавляющего большинства конструкционных материалов .

Ориентировочные значения модуля упругости для некоторых конструкционных материалов: сталь МПа, медь МПа, алюминий МПа, резина МПа. В условиях соблюдения закона Гука модуль упругости для каждого материала является механической константой и является мерой жесткости конструкционных материалов.