4.5. Обобщенный закон Гука

При растяжении элементарного параллелепипеда его продольное ребро увеличивается на величину , а поперечные ребра и соответственно уменьшаются на величину и . Величины и − абсолютные поперечные деформации ребер.

Отношение абсолютной поперечной деформации ребра к его первоначальному размеру называется относительной поперечной деформацией:

;

Экспериментально установлено, что для изотропных материалов поперечные деформации равны между собой и связаны линейным соотношением с продольной деформацией:

ε_попер ; ε_попер. , (4.16)

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона, 0,5.

Коэффициент Пуассона, так же как и модуль упругости, является механической константой материала. Ориентировочные значения коэффициента Пуассона для некоторых конструкционных материалов: сталь и алюминиевые сплавы − , медь и ее сплавы − , резина − , пробка − .

В случае объёмного напряженного состояния на гранях выделенного элемента возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Касательные напряжения, вызывая деформации сдвига, не изменяют длины ребер элемента, поэтому на рис. 4.6 они условно не показаны. В случае идеально упругого и изотропного материала линейные и угловые деформации можно рассматривать как независимые. Воспользуемся принципом независимости действия сил (принцип суперпозиции) и рассмотрим линейные деформа-

ции в направлении оси х, обусловленные нормальными напряжениями.

От действия только напряжений деформация в направлении оси х равна

От действия только напряжений или деформации в направлении оси х соответственно равны

; .

Знак минус указывает, что в направлении оси х эти напряжения уменьшают размеры элемента.

Складывая все деформации в направлении оси х, получим

.

Рассуждая аналогично, можно получить выражения для линейных деформаций в направлении осей и , т. е. и . Следовательно,

(4.17)

Полученные зависимости являются аналитическим выражением обобщенного закона Гука. В эти формулы растягивающие напряжения подставляются со знаком плюс, а сжимающие – со знаком минус.

Полезно для запоминания обратить внимание (табл. 4.1) на полную аналогию структурных формул для напряжений (нормальных и касательных) при плоском напряженном состоянии и моментов инерции плоских сечений.

Таблица 4.1

Напряжения	Моменты инерции
На главных площадках	Относительно главных осей
.

4.6. Изменение объёма материала при объёмном напряженном состоянии

Мысленно выделим из твердого тела параллелепипед со сторонами а, в, с и пусть сторону параллелепипеда а деформирует главное напряжение , сторону в - и сторону с - . Первоначальный объем параллелепипеда до деформации .

Под действием главных напряжений стороны изменят свою длину:

Очевидно, что:

Объём параллелепипеда после деформации

, пренебрегая произведениями деформаций, как величинами второго порядка малости, окончательно получим .

Относительное изменение объёма параллелепипеда

. (4.17)

С учетом обобщенного закона Гука имеем

. (4.18)

Учитывая инвариантность суммы нормальных напряжений можно записать

(4.19)

Обозначим и перепишем формулу (4.18)

(4.20)

где - объёмный модуль упругости.

Рассмотрим случай всестороннего гидростатического сжатия материала, когда . По формуле (4.20) имеем

Из последней формулы следует, что коэффициент Пуассона не может быть больше 0,5, так как в противном случае при всестороннем сжатии тело не уменьшается, а увеличивается в объёме. Этот вывод подтверждается опытными данными. В природе не обнаружены материалы, у которых коэффициент Пуассона был бы больше 0,5. Есть материалы (например, натуральный каучук, парафин), у которых коэффициент Пуассона приближается к 0,5. В этом случае при всестороннем сжатии не происходит изменение объёма материала и такие материалы по своим упругим свойствам приближаются к несжимаемым жидкостям.